Extremas d'une fonction

[amaths]

Bonjour,

Voici un exercice de TD de calcul différentiel que j'aimerais terminer et surtout comprendre.

Soit f : (x,y,z,t) -->(x^2)y(z^4)t
Et l'ensemble X=[(x,y,z,t) dans R^4 tel que x^2 + z^2 = 1 et y^2 + 4t^2 = 1]

J'ai au préalable calculer la différentielle de f et montrer que f restreinte à X admettait un minimum et un maximum global.
La dernière question est de déterminer les extremas de f restreinte à X mais je suis complètement bloqué !

Ma première idée a été d'utiliser le théorème des extremas liés mais je n'ai pas réussi à conclure.

Une aide serait la bienvenue.

Merci

[GaBuZoMeu]

Montre nous ce que tu as essayé du côté extrema liés. Ça permettra de voir quelle aide t'apporter.

[amaths]

Bonjour,

f est C^1
f restreinte à X admet un max et un min global
Supposons que c'est au point (x0,y0,z0,t0)
J'ai montré que (dg1(x0,y0,z0,t0) , dg2(x0,y0,z0,t0) ) était une famille libre

Donc toutes les hypothèses du théorème sont validées et je peux l'utiliser.

Jac(f)= (2xy(z^4)t ( x^2)(z^4)t 4(x^2)y(z^3)t ( x^2)y(z^4) )

Alors en identifiant j'ai le système suivant :
2Cx0=2x0y0(z0^4)t0
2Cy0=(x0^2)(z0^4)t0
2Cz0=(4x0^2)y0(z0^3)t0
2Ct0=(x0^2)y0(z0^4)
(x0^2)+(z0^2)=1
(y0^2)+4(t0^2)=1

Système de 6 équations à 6 inconnues que je ne peux résoudre

[GaBuZoMeu]

Peux-tu expliquer tes quatre premières équations ?

Et si je compte les inconnues dans ton système, je n'en vois que 5 !

[amaths]

Sachant que notre professeur nous a donné comme indication :
"Pour l'étude du point critique (0,0,0,0) on peut considérer par exemple f(a,a^2,a,a)"

Or le point (0,0,0,0) n'appartient pas à X donc je ne vois pas pourquoi on devrait l'étudier ?

D'après son indication il nous conseille donc de faire l'étude des points critiques ce que j'ai donc fait.
Je trouve seulement le point (0,0,0,0)
Or le seul point critique de f n'est pas dans X donc je ne vois pas comment continuer sur cette voie.

[GaBuZoMeu]

Pourrais-tu répondre à ma question, que je répète :

Comment es-tu arrivé aux quatre premières équations ?

Et la question subsidiaire : pourquoi parles-tu de 6 inconnues alors qu'on n'en voit que 5 dans ton système ?

[amaths]

Peux-tu expliquer tes quatre premières équations ?

Et si je compte les inconnues dans ton système, je n'en vois que 5 !

Oui que 5 inconnues pardon.

D'apres le théorème des extremas liés, il existe C tel que df(x0,y0,z0,t0)=Cdg(x0,y0,z0,t0)

On a donc pour tout (h,k,l,m) , C(2x0h+2y0k+2z0l+8t0m)=(2x0y0(z0^4)t0)h+((x0^2)(z0^4)t0)k+((4x0^2)y0(z0^3)t0)l+((x0^2)y0(z0^4))m

J'en déduit donc les 4 premières équations de mon système.

[GaBuZoMeu]

D'apres le théorème des extremas liés, il existe C tel que df(x0,y0,z0,t0)=Cdg(x0,y0,z0,t0)

Ça ne vaut que quand il y a une seule contrainte . Ici tu as deux contraintes.

On a donc pour tout (h,k,l,m) , C(2x0h+2y0k+2z0l+8t0m)=(2x0y0(z0^4)t0)h+((x0^2)(z0^4)t0)k+((4x0^2)y0(z0^3)t0)l+((x0^2)y0(z0^4))m

Ça ne va pas pour la raison que je viens d'expliquer. Tu as deux contraintes et . Tu dois donc exprimer que est combinaison linéaire de et .

[amaths]

D'accord donc nous aurons :

df(x0,y0,z0,t0)=(2C1x0 , 2C2y0 , 2C1z0 , 8C2t0) ?

[amaths]

Mon système deviendrait alors :

2C1x0=2x0y0(z0^4)t0
2C2y0=(x0^2)(z0^4)t0
2C1z0=(4x0^2)y0(z0^3)t0
8C2t0=(x0^2)y0(z0^4)
(x0^2)+(z0^2)=1
(y0^2)+4(t0^2)=1

Qui serait bien quand à lui à 6 équations et 6 inconnues ?

[GaBuZoMeu]

Là, c'est plus raisonnable. Et il est facile d'éliminer C1 entre les équations 1 et 3 et d'éliminer C2 entre les équations 2 et 4 pour aboutir à un système de quatre équations à quatre inconnues, qui n'est pas si terrible que ça.