Extrema d'une fonction

[aurk]

Bonjour,

il y a certaines choses que je ne comprend pas dans le corrigé de mon exercice, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Soit la fonction f définie en coordonnées polaires sur R² et à valeurs dans R par : f(r,n) = r^4 cos(4x).
Soit la fonction g définie sur R² et à valeurs dans R par g(x,y) = x^4 + y^4 - 6x²y²
g est telle que f(r,n) = g(x,y) si (x,y) et (r,n) sont respectivement les coordonnées cartésiennes et cylindriques d'un même r de R² [Ceci a été démontré dans une question précédente]

On calcule l'expresion du gradient de g en tout point et on cherche les points critiques. Voici ce qu'on trouve:

grad g = ( 4x^3-12xy²; 4y^3 -12 x²y)
On cherche pour quelles valeurs de x et y le gradient s'annule on trouve alors les couples suivants :

(0,0)
(y rac(3), x rac(3))
(-y rac(3), -x rac (3))

[ce corrigé a été donné par le prof]

Ma question: le prof écrit ensuite qu'il n'y a qu'une seule solution, le couple (0,0).
Je ne comprend pas très bien pourquoi, est-ce parce-que dans les deux autres couples, les variables x et y sont liées?

Merci!

[nuage]

Salut,
je crois que tu as fais une erreur en notant ton corrigé.
Le gradient s'annule en (0,0) et pour les points dont les coordonnées sont simultanément de la forme et
Il est alors clair que seul (0,0) convient.

[aurk]

Salut,
je crois que tu as fais une erreur en notant ton corrigé.
Le gradient s'annule en (0,0) et pour les points dont les coordonnées sont simultanément de la forme et

non, c'est bien ce que j'ai écrit, le corrigé n'a d'ailleur pas été recopié, c'est un polycopié.

[nuage]

Alors le corrigé est absurde : tous les points de sont de la forme

(y rac(3), x rac(3))

et de la forme

(-y rac(3), -x rac (3))