Bonjour
Passer par la matrice Hessienne est plutôt risqué.
Après avoir obtenu tes 4points critiques par la méthode des multiplicateurs de Lagrange il te reste à savoir la nature de ces points critiques. (miminum, maximum ou pas locaux ou pas)
Ces points sont M_0=(1,0,0), M_1=(0,1,0), M3=(1/sqrt(2),1/sqrt(2),1-sqrt(2)) , M_4=-M3.
Pour répondre à cette question on peut remarquer que f est une fonction bornée sur S.
En effet sur S,
=x^2+y^2+z^2 =z^2+1)
et
(la constante vient de l'équivalence des normes 1 et 2 dans R^2)
f étant continue sur le compact S alors atteint ses bornes.
(remarque on peut voir que S est en fait l'intersection du cylindre
et du plan incliné x+y+z=1, S est donc une ellipse) et f(x,y,z) est la distance^2 de chaque point de S à l'origine O)
On est donc sûr que dans ces 4 points l'un au moins est un minimum absolu et l'autre un max absolu.
Les calculs montrent que f(M0)=f(M1)=1 et f(m3)=f(m4)=4-2sqrt(2) on obtient ainsi la conclusion.
Une autre façon plus simple peut être de faire l'exo est de paramétrer S
\in S)
ssi
=(x,y,z)=(cos(t),sin(t),1-cos(t),sin(t) ) t\in[0,2\pi])
f(x,y,z) =m(t).m(t)=3 - 2 cos(t) - 2 sin(t) + sin(t)=w(t)
alors w'(t)=0 pour t=0,Pi/2,Pi/4,5Pi/4
On retrouve les 4points critiques et le calculs des dérivées secondes donneront les max et min.
Ils seront absolus en remarquant évidemment que la fonction w est bornée.
