Extensions galoisiennes

[matheuxendetresse]

Bonjour,

Je fais la théorie de Galois, et j'ai trouvé cet exo qui demande de monter la réciproque d'un lemme sur les extensions galoisiennes:
Si est galoisienne alors où sont les racines simples d'un polynôme scindé de

Merci : )
Edit: extension finie en hypothèse.

[Ben314]

Salut,
Si tu ne suppose pas que l'extension est finie, je ne vois pas comment tu peut obtenir un tel résultat.

[matheuxendetresse]

Salut,
Si tu ne suppose pas que l'extension est finie, je ne vois pas comment tu peut obtenir un tel résultat.

Oui c'est bien finie, désolé.

[Ben314]

Et ton "scindé", tu es sûr que ça serait pas plutôt "à racines simples" ?

[matheuxendetresse]

Et ton "scindé", tu es sûr que ça serait pas plutôt "à racines simples" ?

Dans l'exo c'est écrit comme ça:
sans dire que les sont des racines différentes pour qu'elles soient simples. (c'était manuscrit c'est trop probable qu'il y est des fautes) mais on peut l'ajouter dans l'énoncé.
Moi c'est juste pour bien comprendre la théorie, car je suis nouveau sur cela!

[Ben314]

Comme est une extension finie, il existe un entier et tels que .
Pour tout soit le polynôme minimal de sur .
Comme l'extension est supposée séparable, les sont tous séparables, (c'est à dire à racines simples dans la clôture algébrique) et bien sûr irréductibles sur .
Si on prend pour polynôme le produit des distincts, alors est séparable et tout les sont des racines de donc le corps engendré par les racines de (dans la clôture algébrique) contient .
Sauf que, vu que l'extension est supposée normale, les racines autres que du polynôme irréductible sont elles aussi dans donc le corps engendré par les racines de est .

[Ben314]

Dans l'exo c'est écrit comme ça:
sans dire que les sont des racines différentes pour qu'elles soient simples. (c'était manuscrit c'est trop probable qu'il y est des fautes) mais on peut l'ajouter dans l'énoncé.
Moi c'est juste pour bien la théorie, car je suis nouveau sur cela!

Le problème, c'est que ce que tu as écrit dans ton premier post, c'est "scindé sur K" alors que très clairement, les racines çi dessus, c'est pas des éléments de K, mais des éléments de L.
Donc ton polynôme est scindé sur L, mais surement pas sur K (et de dire qu'il est scindé sur L, c'est relativement couillon vu que, si ces racines engendrent L, c'est bien évidement qu'elles appartiennent à L).

[matheuxendetresse]

Dans l'exo c'est écrit comme ça:
sans dire que les sont des racines différentes pour qu'elles soient simples. (c'était manuscrit c'est trop probable qu'il y est des fautes) mais on peut l'ajouter dans l'énoncé.
Moi c'est juste pour bien la théorie, car je suis nouveau sur cela!

Le problème, c'est que ce que tu as écrit dans ton premier post, c'est "scindé sur K" alors que très clairement, les racines çi dessus, c'est pas des éléments de K, mais des éléments de L.
Donc ton polynôme est scindé sur L, mais surement pas sur K (et de dire qu'il est scindé sur L, c'est relativement couillon vu que, si ces racines engendrent L, c'est bien évidement qu'elles appartiennent à L).

Ah oui c'est vrai je l'ai pas remarqué, c'est bête, ça sert vraiment à rien là !!
Merci beaucoup, vraiment!!