Extension du théorème de la limite simple

[Nightmare]

Bonjour à tous :happy3:

Aujourd'hui en partiel de proba je me suis posé la question suivante (qui n'a aucun rapport avec les probas, pour vous dire mon engouement quant au sujet du partiel...) :

Une limite simple de fonctions dérivables est-elle dérivable presque partout?

Comme l'indique le titre, il s'agit du théorème de la limite simple de Baire dans lequel je remplace continu par dérivable.

Je n'y ai pas vraiment encore réfléchi mais je le poste au cas où certains seraient intéressés par la question.

:happy3:

[Doraki]

[url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_continue_nulle_part_dérivable[/url]

Le premier exemple m'a l'air d'être un bon candidat pour un contre-exemple.

[Nightmare]

Comment montrer qu'elle est limite simple de fonctions dérivables?

[Doraki]

Parceque c'est une limite simple de fonctions qui sont des sommes finies de fonctions dérivables ?

[Nightmare]

euh, de quelle fonction parles-tu dans ton lien?

[Doraki]

fn(x) = somme de k=1 à n de 1/k sin(k²x).

Enfin ça marche aussi avec les autres.
Pour weierstrass leur fonction g n'est pas dérivable mais je pense que en lissant un tout petit peu ça ne devrait pas tout casser.

[Nightmare]

Je croyais que tu parlais de l'exemple donné dans la rubrique exemple !

Ok ça marche pour celle la, niquel.

Merci Doraki :happy3:

[ffpower]

et avec les fonctions continues,c est pas presque partout mais sur un ensemble dense.Sinon,un autre moyen de répondre a ta question,c est de se dire que toute fonction continue est limite uniforme de fonctions polynomiales(donc dérivable),c est donc en particulier le cas pour les fonctions continues nulle part dérivable

[Nightmare]

oui ffpower, preque partout au sens de baire, j'aurais dû préciser.

Effectivement, Weierstrass permet de conclure vite, joli.