Extension galoisienne de R

[simplet]

Bonjour à tous!! Déja bonne année à tous!!

Soit L une extension finie de C (le corps des complexes). Montrer qu'il existe une extension finie K/L telle que l'extension K/R soit galoisienne.

(En fait c'est une question intermédiaire pour la démonstration de C est algébriquement clos)
à
Déjà la séparabilité est donné par la caractéristique 0, il suffit de regarder la normalité.
Il faut que K soit un corps de décomposition d'un polynome de R[X]. Pour cela je voulais prendre un polynome Q de L[X] et le multiplier par un polynome (que l'on notera ) tel que soit dans R[X].
Mais je n'arrive pas a construire ce ...

Vous avez une idée??
mercii

[simplet]

hum... et si on prennais la cloture normale de L/R. Ca marche me semble-t-il... il faut que je regarde sa construction...

[yos]

hum... et si on prennais la cloture normale de L/R. Ca marche me semble-t-il... il faut que je regarde sa construction...

Trop gros.
Prendre avec , P dans R[X].
On prend pour K le corps de décomposition de P.

[simplet]

Prendre

En fait L est donné dans l'énoncé, mais on peut effectivement l'écrire comme ca grace au théorème de l'élément primitif (c'est ca?)

avec , P dans R[X].
On prend pour K le corps de décomposition de P.

Je prends P son polynome minimal sur R, puis K son corps de décomposition sur R.
K/R est galoisienne, et K contient L.

ce qu'on voulait!
(ok?)

Trop gros..

Je pensais pourtant que la cloture normale de L/R était la plus petite extension normale de R contenant L ...

[yos]

Oui c'est bon.
Pour le dernier point, l'histoire de la cloture normale, tu as raison, c'est la même chose que ce que j'ai dit. En gros on ajoute à L les R-conjugués qui manquent. J'ai confondu avec la clôture normale de L qui est la plus grande extension normale de L (extension de degré infinie). Bref tu y étais.

[simplet]

merci de m'avoir répondu en tout cas :id: