Extension et R-espace vectoriel

[fou-de-math]

S.V.P les amis une petite question:
Si on considère j racine cubique complexe du polynôme cyclotomique x^3+1=0. L'extension R(j)=R[X]/(x^2+1) est isomorphe à C et qui est de degré 2.
Ce que je ne comprend pas (de point de vue logique) comment se fait que le R-espace vectoriel R(j) et qui a pour base {1,j,j^2} soit de dimension 3 ?

[Doraki]

Quand tu as un polynome réel P(x), il se décompose (dans R[X]) en facteurs irréductibles de degrés 1 ou 2.
Quand tu dis "soit j une racine complexe de P(x)", tu choisis secrètement un de ces facteurs irréductibles de degré 2, Q, et tu supposes que j est une racine de Q (si tu as une racine complexe de P, comme C est intègre, il y a forcément l'un des facteurs irréductibles qui annule j).
Et alors R(j) est de dimension 2 (une base est par exemple (1,j)).


Si tu veux parler de l'anneau quotient R[X]/(P(X)), là c'est autre chose.

[Skullkid]

Bonjour, tout d'abord le polynôme X^3+1 n'est pas un polynôme cyclotomique. Ensuite, rigoureusement parlant, R(j) ce n'est pas R[X]/(X²+1) mais R[X]/(X²-X+1), puisque le polynôme minimal de j est X²-X+1 (sans prendre le minimal tu n'obtiens pas un corps après quotient). Et comme j vérifie j²-j+1 = 0, (1,j,j²) n'est pas R-libre, donc pas une base. (1,j) est une base du R-espace vectoriel R(j), qui est isomorphe à C.

[fou-de-math]

Merci Doraki et Skullkid.
En fait je me suis trompé quand j'ai considéré le degré du polynôme x^3+1=0 au lieu de X²-X+1=0 qui est le polynôme minimale de j. Je crois que je dois faire une revision de mon cours "algébre et théorie de Galois". Une autre fois Merci.