Extension de corps

[Sameraz]

Bonjours camarades,
J'aimerais une petite explication d'une certaine nuance dans mon cours. En TD, mon prof a utilisé une proposition du cours d'une facon incorrecte si je ne me trompe pas et j'aimerais savoir, sinon, comment il a fait.
La proposition dit:
Ayant L:K et L':K 2 extensions d'un corps K, et sigma: L->L' un K-homomorphisme, alors,
si alpha est un element de L qui est algebrique sur K, et si sigma est un K-endomorphisme de L (donc dans le cas ou L=L'), alors sigma(alpha) et alpha sont conjugués (admettent le meme polynome minimal sur K). Et donc tout K-endomorphisme envoit un element algebrique sur K à l'un de ces conjugués.

Un exercice de TD:
Est ce que les corps Q(racine de 7) et Q(racine de 11) sont Q-isomorphes?
La reponse du prof est:
Si il existe un Q-isom sigma entre ces deux corps, alors comme racine de 7 est algebrique sur Q, son image par sigma est son conjugué, et donc il a procédé a trouver une contradiction. Mais le theoreme exige que sigma soit un endomorphisme tandis que dans ce cas les ensembles de depart et darrivee ne sont pas egaux. Peut-on etendre ce theoreme a tout homomorphisme?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Si et sont deux corps extensions du corps , alors tout -homomorphisme de dans est un isomorphisme sur son image.
Si est un tel -homomorphisme et algébrique sur de polynôme minimal , alors est algébrique sur de polynôme minimal .