Expression du grandient selon la base

[HTZ]

Bonjour à tous !

Une question afin de comprendre un peu un outil qu'on utilise très souvent en cours mais qu'on ne nous a jamais expliqué : le gradient !

Pour ce que j'en ai compris le gradient représente de manière vectorielle les variations d'une grandeur dans les 3 directions de l'espace (en physique en toute cas). Ce qui reste obscure en revanche, c'est la modification de son écriture selon la base utilisée. C'est peut être très simple mais je ne trouve pas d'où ça sort et ça me tracasse...

Les trois notation qu'on utilise sont :

En coordonnées cartésiennes :

En coordonnées cylindriques :

En coordonnées sphériques :

Je n'arrive pas à faire "surgir" les facteurs devant les dérivées partielles selon et ...

Une idée ?

Merci d'avance !

PS: d'ailleur si quelqu'un pouvait m'explique le sens du nabla seul ? ?? Je ne comprends pas à quoi cela correspond ...

[XENSECP]

Salut,

Tu veux faire un changement de base en fait ? Enfin déduire le nabla d'un système de coordonnées à un autre ?

Sinon bah nabla c'est opérateur... Compliqué à expliquer en deux mots (check wikipédia)

[HTZ]

Oui je vois mal le principe du changement de base ici en fait...

[XENSECP]

Il faut exprimer les coordonnées x, y et z en fonction de r, theta et z par exemple.

Après c'est assez simple :

etc.

[HTZ]

Merci en retard pour la réponse !

Je n'avais pas encore vu les fonctions de dans alors j'avais un peu de mal à piger la réponse.

Maintenant que j'ai un niveau un peu plus élevé je me suis relancé dans les calculs, et au final je bloque toujours :/
Si j'ai bien compris l'idée serait de considérer que notre fonction dont on connait l'expression en coordonnées cylindriques par exemple, a pour écriture en fonction des coordonnées cartésiennes :



avec ?

A ce moment là je vais chercher les dérivées de f par rapport aux coordonnées cartésiennes comme étant les dérivées d'une composée de fonction, ce qui me donne :



Mais ça n'a pas l'air de mener au bon résultat, que j'ai ennoncé dans mon premier message. Déjà parce qu'on voit bien que les dérivées ne vont pas du tout correspondre à ce qui apparait dans les formules sus-dites...

Ca ne donne rien non plus dans le cas inverse : à savoir si l'on connait la fonction exprimée en coordonnée cartésiennes et qu'on l'exprime en coordonnées cylindriques avec une composition...

J'ai enfin essayé de travailler en matricielle, en cherchant la matrice de passage de la base cartésienne à la base cylindrique, mais là aussi j'ai fait choux blanc.

Vraiment si quelqu'un voit comment on est sensé effectuer ce changement de base... Je suis en train de me prendre la tête dessus c'est agaçant

Merci d'avance à tous !