Expression déterminant

[lucie68]

Bonjour à tous,
je suis en pleine révisions pr le CAPES et je viens de me rendre compte que dans mon cours j'avais deux expressions différentes du determinant de 3 vecteurs ..
L'une me dit que det(u,v,w)=(u^v).w
et l'autre me dit que det(u,v,w)=u.(v^w)
Et j'ai un peu regardé sur le net, et j'ai l'impression qu'on trouve effectivement les deux, mais c'est la même chose ou pas?
On peut utiliser l'une ou l'autre selon ce qui nous arrange?
Merci d'avance !

[emdro]

Bonjour,

c'est une propriété fondamentale du déterminant: il est alterné.
En dimension impaire, il est alors invariant par permutation circulaire.

En dimension 3, on a donc:
Donc Det(u,v,w)=Det(v,w,u)=Det(w,u,v).

et donc, autrement dit:
u.(v^w)=v.(w^u)=w.(u^v).

et en vertu de la commutativité du produit scalaire, les deux extrêmes fournissent une réponse à ta question.


Edit: Pour la clarté du raisonnement, en tenant compte des conseils ultérieurs! :happy2:

[uztop]

Bonjour,

oui effectivement. Pour t'en convaincre, tu peux remplacer u, v et w par leurs coordonnées (u1,u2,u3), (v1,v2,v3) et (w1,w2,w3) et faire tous les calculs, ca donne bien la même chose :)

[leon1789]

c'est une propriété fondamentale du déterminant: il est invariant par permutation circulaire.

Les déterminants de "dimension" impaire sont invariants par permutation circulaire, pas ceux de "dimension" paire !

[Joker62]

Et pour faire mon ptit rajout je dirais qu'il a une partie de définition aussi

le produit vectoriel de u et v est l'unique vecteur noté u^v tel que det(u,v,w) = (u^v).w pour tout w.
:o

[emdro]

ll y a une démonstration plus élégante, mais un peu astucieuse qui consiste à partir de:
(u+w).[(u+w)^v]=0

On tombe très vite sur (u^v).w=-(w^v).u et donc =(v^w).u par antisymétrie du produit vectoriel.

[emdro]

Les déterminants de "dimension" impaire sont invariants par permutation circulaire, pas ceux de "dimension" paire !

Oui, effectivement, soyons clairs!

[Lemniscate]

Enfin sans parler de "dimension", le déterminant est une forme n-linéaire alternée (donc antisymétrique aussi).

[lucie68]

OK ! Merci beaucoup à tous !
Le fait qu'il soit invariant par permutation circulaire en dimension impaire, ça vient du fait que en dimension impaire, on a l'equivalence entre antisymétrique et alterné?
Parce que je viens de regarder dans mon cours, et nulle part on parle de dimension paire ou impaire, il y a juste que pour une forme linéaire , alors on a l'equivalence entre alterné et antisymétrique .. alors c'est juste pour savoir quel théorème vous invoquez pour affirmer ça ..
Merci encore !

[Lemniscate]

Si tu es en dimension 3 les vecteurs ont 3 coordonnées et
[u,v,w]=-[w,v,u ] (permutation de u et w, et antisymétrie du déterminant)
donc
[u,v,w]=-[w,v,u ]=-(-[w,u,v])=[w,u,v] (permutation de u et v, et antisymétrie du déterminant)
D'où stabilité du déterminant en "dimension" impaire par permutation circulaire.

Après si n=2 (le vecteurs ont 2 coordonnées)

[u,v]=-[v,u] (permutation de u et v, et antisymétrie du déterminant)

Donc là la permutation circulaire préserve le déterminant à cela près qu'elle met un signe "-" en plus !

Ce qu'on fait pour n=3 se généralise à n impair ("dimension" impaire) et pour n=2 à n pair ("dimension" paire)

[lucie68]

Ok!
Je te remercie !
Mais donc on utilise bien que le determinant est antisymétrique, et donc pour le determinant si j'ai bien compris, on a l'equivalence entre alterné et antisymétrique !
Cependant, pour l'invariance par permurtation circulaire, il faut faire attention à la parité de la dimension !
( J'ai juste essayé de faire un résumé pour voir si j'ai bien compris :p )

[emdro]

On n'utilise pas tout à fait l'équivalence entre alterné et antisymétrique, mais simplement l'implication alterné=> antisymétrique qui -elle- est juste (et immédiate).

A part ça, tu as bien compris nos messages. :++: