Exposé Méthodologie Maths

[ShayAlderanda]

Bonjour, et bonnes fêtes puisque nous sommes en cette période de l'année !

D'avance, un grand merci à tous ceux qui prendront le temps de lire ceci et de me conseiller !

Je suis donc en première année de Licence MPCI (Maths Physique Chimie Informatique) et début Janvier je dois valider la matière de méthodologie mathématiques par un exposé d'une dizaine/quinzaine de minutes sur un sujet qui nécessite les connaissances de terminale S (pas sur le programme de licence, donc).

Nous sommes trois sur cet exposé, et cela m'ennuie un peu de venir demander de l'aider par ce que ce sujet est sans doute excessivement simple, mais vraiment j'ai du mal. Voici mot pour mot le sujet :

"Soit f une fonction continue de R dans R. On suppose que valeur absolue de f admet une limite finie en plus l'infini. Que peut-on dire du comportement asymptotique de f au voisinage de plus l'infini ?

Je penses que ce qui me bloque c'est la valeur absolue, j'ai l'impression qu'il y a un piège ou quelque chose de tout simple à remarquer par rapport à ça mais je ne vois pas quoi peut-être trop endormie par Noël !

Il faudrait donc faire un exposé en trois partie, avec pour chaque partie un cas possible non ? Une partie avec la limite l = 0 une partie avec l > 0 et une partie avec l <0 ? C'est ce que moi et mes "coéquipières" pensions faire, mais elles ne sont pas plus avancées que moi !

Si l'on prend ce plan, je ne saurais pas vraiment que dire pour meubler une dizaine de minutes... J'ai cru comprendre qu'il fallait prouver ou démontrer qu'à partir d'un certain x f devenait uniquement égale ) valeur absolue de f ou a moins valeur absolue de f mais je ne sais pas trop comment m'y prendre : en fait ça me parait évident (bien que ça ne le soit probablement pas) du coup j'ai du mal à concevoir une démonstration.

Et pour l = 0, il n'existe pas des cas pour lesquels f tend vers 0 tout en continuant d'être alternativement positive et négative ? J'ai essayé d'en trouver "au petit bonheur de la chance" en tapant sur ma calculatrice, mais comme c'était à prévoir je n'ai pas vraiment reçu les résultats désirés !

Bref, ce petit sujet tout simple me laisse tout de même perplexe ! Un grand merci pour avoir lu jusque ici, et merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me répondre

Bonne journée, bonnes vacances à ceux qui en ont et bonnes fêtes à tous !

[lionel52]

Si la limite L de |f| est 0 alors oui f tend vers 0
Si la limite L de |f| est > 0 alors f tend vers L ou vers -L en l'infini (argument clé : f est continue sinon ça marche pas)
Si la limite L de |f| est < 0 c'est que tu t'es trompée quelque part



Indication pour la démonstration du 2 : en partant de la définition de "limite en l'infini"

On choisit
Pour x > M, on a alors
S'il existe tels que et , alors il existe d'après le TVI tel que

Mais donc contradictionet f garde donc le même signe au delà de M et tu peux ainsi enlever les valeurs absolues! Si f(M) < 0 par ex, alors

Maintenant tu peux rajouter les exemples suivants :
1) Si f n'est pas continue et que la limite L est > 0 :
On prend f(x) = 2 + 1/x si x est non entier, et f(x) = -2 si x est entier

2) Une fonction oscillant en positif et négatif de limite nulle : sin(x)/x

[ShayAlderanda]

Bonjour et merci pour cette réponse !

Effectivement en me relisant je me suis rendue compte que c'était idiot xD

Donc : premier cas l = 0 donc valeur absolue de f et f tendent vers 0. Merci pour l'exemple !!!! il faut donc détacher les trois possibilités : f tend vers 0 en restant positive, f tend vers 0 en restant négative, et f tend vers 0 en alternant positif et négatif.

Ensuite second cas : valeur absolu de f tend vers l (supérieur à 0 évidemment, merci d'avoir relevé l'étourderie xD) et f tend vers l, dans ce cas à partir d'une certaine valeur de x f est toujours égale à valeur absolue de f. Mais faut-il le prouver ? Si oui comment ? ça me parait bien difficile de faire durer dix minutes en fait !

Et troisième cas : valeur absolu de f tend vers l et f tend vers moins l, donc à partir d'un certain x f est toujours égale à moins valeur absolue de f... Mais pareil, je ne sais pas s'il faut le prouver ou du moins le mettre clairement en évidence d'une certaine manière... Par ce que j'imagine que c'est ce que mon prof veut sans quoi il ne nous demanderait pas dix minutes, non ?

En tout cas encore merci pour cette réponse et pour les exemples !

[lionel52]

Moi je procéderais comme ça :

Partie 1) L = 0
f tend vers 0 dans tous les cas (pas besoin de condition particulière sur f)
Démonstration : puis application du théorème des gendarmes
Quelques exemples :

f(x) = -1/x,
f(x) = sin(x)/x (changement de signe)

Partie 2) L > 0
f tend soit vers L soit vers -L (condition de continuité importante dans l'application du TVI pour montrer que f reste de signe constante à partir d'un certain temps!)
Ma démo tu peux l'utiliser
Un contre exemple dans le cas où f est non continue : le contre exemple que jta filé


PS : 10 minutes ça passe vite.

[ShayAlderanda]

Merci énormément pour ta réponse qui m'a complètement débloqué ! Je crois que j'ai bien compris ce qu'il faut faire maintenant !

La démonstration ne s'était pas affichée quand j'ai envoyé ma précédente réponse, mais maintenant je la vois et merci c'est parfait je comprends et je penses que je pourrais bien l'expliquer si on me pose des questions dessus

Merci pour toutes ces explications et d'avoir pris le temps de me les donner !