Memento a écrit:Bonjour à tous !
Pourriez-vous m'aider à simplifier cette formule:
[/TEX] )
Bjr,
examinons ce qu'est une détermination du log complexe:
si z et u sont deux nombres complexes, calculer log(z)
c'est résoudre l'équation d'inconnue u=x+iy
.
Il vient:
On montre que l'on a une détermination continue de l'argument de z,
quand z appartient à un ouvert simplement connexe de
, ce qui veut dire que
est alors une mesure d'angle qui est univoque et qui varie continuement en fonction de z.
on considère l'ouvert de
:
privé de la demi-droite
l'argument de z varie alors de
quand z appartient à cet ensemble ouvert.
Dans ce genre de considération, on ne raisonne pas du tout "modulo 2 pi"
comme d'habitude, mais au contraire, on suit continuement l'argument
de z quand il se déplace dans l'ouvert (ou sur la surface de Riemann).
Sans utiliser les log, on a
d'où on trouve comme résultat:
Comme l'argument
est sorti
du domaine de définition
, on est bien ennuyés. :hum:
Le problème, c'est qu'à cet argument
on pourrait rajouter:
avec
pour obtenir d'autres résultats.
Les entiers
forment le sous-groupe
tout entier.
Le produit est donc une famille de complexes de module
et d'arguments:
Sur la
surface de Riemann du log, ils sont situés sur une hélice à intervalles réguliers. Il faudrait voir comment ils se situent sur les différents feuillets.