Exposant et ordre

[mathematixe]

Bonjour, je viens de lire ce paragraphe :
Si ab = ba, on peut au moins affirmer que l'ordre de ab divise le PPCM des ordres de a et b, et que, si ord(a) et ord(b) sont premiers entre eux, il est même égal au produit ord(a)× ord(b).
Ceci, permet de construire, pour deux éléments a et b vérifiant ab = ba, un élément dont l'ordre est le PPCM des ordres de a et b (le produit de deux élévations à une puissance idoine de a et de b), et donc de prouver que l'ensemble des ordres des éléments d'un groupe abélien est stable par PPCM. Une conséquence est que si l'exposant d'un groupe abélien est fini alors il est égal à l'ordre de l'un des éléments du groupe.

Je ne comprends pas comment cette conséquence est tirée du dessus.. Quelqu'un pourrait m'expliquer svp

[Ben314]

Salut,
L'exposant d'un groupe, c'est, par définition, le plus petit entier n (s'il existe...) tel que x^n=e pour tout x de G.
Or, pour un x donné, le fait que x^n=e signifie que n est un multiple de l'ordre de x donc si x^n=e pour tout x de G, ça signifie que n est un multiple de l'ordre de tout les éléments de G, donc un multiple du ppcm des ordres des éléments de G. Et évidement, le plus petit entier qui est un multiple du ppcm en question, ben c'est le ppcm lui même.

Bref, l'exposant d'un groupe (lorsqu'il existe), c'est le ppcm des ordre des éléments du groupe. Et dans le cas où le groupe est commutatif, le début du laïus montre qu'il existe bien un xo de G dont l'ordre est le ppcm des ordres de tout les éléments de G.