Exposant d'un groupe MP

[Anonyme]

Bonjour à tous

J'ai du mal à résoudre cet exercice, alors si quelqu'un pouvait m'aider:

Soit G un groupe abélien fini, a et b deux éléments de G, d'ordres
respectifs m et n.
IL me faut montrer que:
Si pgcd(m,n)=1, alors ab est d'ordre mn
L'existence d'un élément do'ordre ppcm(m,n)
L'existence d'un élément dont l'ordre est le ppcm des ordres des tous les
éléments de G

[Anonyme]

"Aurélia" a écrit dans le message news:
bjcpfo$129$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Bonjour à tous
>
> J'ai du mal à résoudre cet exercice, alors si quelqu'un pouvait m'aider:
>
> Soit G un groupe abélien fini, a et b deux éléments de G, d'ordres
> respectifs m et n.
> IL me faut montrer que:
> Si pgcd(m,n)=1, alors ab est d'ordre mn


Un grand classique. Notons multiplicativement la loi sur G.
Comme G est abélien, (ab)^(mn)=a^(mn)b^(mn) donc
(ab)^(mn)=(a^m)^n(b^n)^m=1. Donc, par propriété de l'ordre
d'un élément, l'ordre N de ab divise mn.
Mais (ab)^N=1 et donc a^N=b^(-N) d'où a^(nN)=1
donc, par propriété de l'ordre d'un élément, m divise nN et
comme n et m sont premiers entre eux, c'est que (Gauss) m divise N.
De même n divise N et comme m et n sont premiers entre eux,
mn divise N d'où N=mn.


On peut aussi s'en sortir aussi en utilisant la formule
qui donne l'ordre d'un élément dans un groupe cyclique :
o(g^k)=o(g)/pgcd(k,o(g)).


> L'existence d'un élément do'ordre ppcm(m,n)

Illustration avec o(a)=2^2*3^3, o(b)=2^5*3 : alors,
o(a^(2^2))=o(a)/pgcd(2^2*3^3,2^2)=3^3 de même o(b^3)=2^5
donc, d'après ci-dessus, o(a^(2^2)*b^3)=3^3*2^5=ppcm(o(a),o(b)).

> L'existence d'un élément dont l'ordre est le ppcm des ordres des tous
les
> éléments de G
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En effet, pour calculer le ppcm d'une liste, tu peux remplacer
deux éléments par leur ppcm. Il suffit ensuite d'appliquer ce qui précède.


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