Exponentielle de matrice
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par legeniedesalpages » 21 Juin 2009, 13:26
Bonjour,
je ne vois pas comment montrer que pour une matrice symétrique
, il existe un polynôme
tel que
.
Merci pour votre aide.
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Zavonen
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par Zavonen » 21 Juin 2009, 13:44
Il y a quand même quelque chose de curieux.
Si tu appliques cela à la matrice unité qui est bien symétrique. Ce résultat signifie qu'un polynôme en l'homothétie de rapport e est égal à l'unité. N'en résulterait-il pas que e est algébrique?
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uztop
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par uztop » 21 Juin 2009, 13:49
non ce n'est pas vraiment un contre exemple; le polynôme n'a pas besoin d'être à coefficients entiers; et on peut prendre
pour la matrice unité.
Ceci dit, je n'ai pas d'idée pour résoudre cet exo.
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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 21 Juin 2009, 13:56
il parait que
mais je ne sais pas si ça peut servir dans le cas présent.
par legeniedesalpages » 21 Juin 2009, 14:04
En fait c'est une étape pour montrer l'injectivité de l'exponentielle définie sur l'ensemble des matrices symétriques.
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Zavonen
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par Zavonen » 21 Juin 2009, 14:30
non ce n'est pas vraiment un contre exemple; le polynôme n'a pas besoin d'être à coefficients entiers; et on peut prendre P(X)=\frac{X}{e} pour la matrice unité.
Exact, autant pour moi.
Ta remarque est quand même fort intéressante car elle prouve le résultat quand A est une homothétie, de là on passe facilement au cas d'une matrice diagonale (en prenant les polynômes produits). c'est un premier pas.
par legeniedesalpages » 21 Juin 2009, 15:06
je suis d'accord pour la cas où A est diagonale.
Après si A n'est pas diagonale, j'essaie de me ramener à ce qui a été fait en la diagonalisant en une matrice D,
si
, alors
,
là je me retrouve avec un "genre de polynôme" en
qui a des coeff à droite et à gauche de l'indéterminée, c'est toujours considéré comme un polynôme?
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Zavonen
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par Zavonen » 21 Juin 2009, 15:16
Supposons le résultat établi pour les diagonales.
Partons de P(exp(D))=D
Soit U inversible
On a U^-1P(exp(D))U=U^-1DU
Tout le problème est de savoir si on peut 'rentrer' les facteurs de gauche et de droite dans le membre de gauche.
C'est clair si P(X)=X^n, encore clair si P(X)=kX^n
A cause de la distributivité à gauche et à droite du produit on a
U^-1P(exp(D))U=P(U^-1exp(D)U)=U^-1DU
Maintenant on a de même U^-1exp(D)U=exp(U^-1DU) en appliquant la même chose aux sommes partielles de l'exponentielle qui sont des polynômes.
par legeniedesalpages » 21 Juin 2009, 15:59
ok, en fait il fallait chercher
dans
et non dans
.
Merci Zavonen.
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