Exos sommes/produits.

par **Mobster** » 12 Oct 2010, 19:34

Salut salut :)
Quelques petits exos/petites formules dont je ne suis pas sûr.
La somme des entiers de 1 à n, c'est [n(n+1)]/2 ?
La somme des carrés des entiers de 0 à n, c'est [n(n+1)(2n+1)]/6 ?
Je dois exprimer la somme(i=0;n) de q^i, avec q appartient à R privé de 1.. Je bloque.
Faut appliquer la formule d'une suite géométrique, avec q étant sa raison ?
Merci d'avance :)

par **Sa Majesté** » 12 Oct 2010, 19:48

Oui aux 3 questions :zen:

par **Mobster** » 12 Oct 2010, 19:50

Quelle classe :p
Et donc, la formule de la somme des membres d'une suite géométrique de raison q, c'est (1-q^n+1)/(1-q) ?

par **Sa Majesté** » 12 Oct 2010, 19:54

Encore oui
Décidément tu es trop fort :zen:

par **Ben314** » 12 Oct 2010, 19:58

Salut,
Pour la dernière formule, je te conseillerais même fortement de connaitre la preuve de cette formule : elle ne tient que deux lignes mais contient une petite "astuce" réutilisable dans de nombreux autres contextes mathématiques...

par **Mobster** » 12 Oct 2010, 19:58

Ahahahahaha.. Ahaha !
Merci :D.
Par contre (oui j'ai mes failles uhuh), il faut que je démontre par récurrence l'égalité.
Or il y a un soucis !
q peut valoir 0, et on commence à la puissance 0.
Or 0^0 n'est pas défini, n'est-ce pas ?
Donc je pose ma condition ?

par **Mobster** » 12 Oct 2010, 20:01

Ben, concernant la preuve, c'est ce qu'il faut trouver pour le démontrer non ?
Si oui alors c'est justement ce que je suis en train de chercher, mais que je ne trouve pas :p

par **Ben314** » 12 Oct 2010, 20:03

EN FONCTION DU CONTEXTE, il est assez fréquent que l'on "pose" X^0=1, même lorsque X=0.
C'est le cas ici.

La preuve à laquelle je pensait n'est pas la récurrence (qui a l'énorme inconvéniant de demander à connaitre le résultat dés le début de la preuve".
Celle à laquelle je pensait est la suivante :
On écrit S=1+q+q²+...+q^(n-1)+q^n.
Que vaut qxS ? et S-qxS ? conclusion.

par **Mobster** » 12 Oct 2010, 20:08

qxS = q+q²+...+q^(n-1)+q^n+q^n+1.
S-qxS = 1-q^n+1.
C'est magique \o/
Ensuite on met S en facteur commun à gauche et on retrouve la formule.
Belle démonstration :D
Merci :)
Et donc pas de soucis pour 0^0 ? Ma prof est tatillonne sur la rédaction.
J'vous fais confiance :p

par **Mobster** » 12 Oct 2010, 22:02

Coucou, c'est encore moi :p
Je bloque à un produit cette fois.
Le produit des entiers de i=1 à n de 2^i.
Il faut que j'exprime ce produit en fonction de n...
Je vois pas trop comment faire !
Une petite aide de votre part serait fort aimable mes frayres :)

par **Ben314** » 12 Oct 2010, 22:04

Rappel :

par **Mobster** » 12 Oct 2010, 22:08

Merci infiniment, ça m'était totalement sorti de la tête !

par **Mobster** » 12 Oct 2010, 22:13

Une petite dernière question : est-ce long/compliqué de montrer que :
Produit(k=1,n) de (6k-3) est égal à [(3/2)^n]*[(2n)!/n!] ?
Car il se fait tard, et le sommeil, c'est essentiel !

par **fatal_error** » 12 Oct 2010, 22:21

salut

si tu facto 6k-3, tu devrais avoir 2k-1 en facteur
Quand tu fais le produit des 2k-1, c'est faire le produit de nombre impairs consécutifs, 1,3,5 etc...
l'idée c'est donc de dire que tu fais le produit des n nombres n!, pis tu divises par les nombres pairs

par **Mobster** » 13 Oct 2010, 06:57

Ah cool, merci beaucoup.
Il faut y penser !
Bonne journée à toi :)

... Pedobear sangoku spotted ? x)

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