Exos pour préparation au partiel

[kraziy]

Bonsoir, ayant un partiel très bientôt j'aimerais vous demander de l'aide pour résoudre les 2 exercices suivant :

1/On définit, Pour tout n appartenant à l'ensemble N*, Un=1/n² et l =0. Montrer sans utiliser les propriétés des limites, que
Pour tout Epsilon > 0, Il existe n0 appartenant à l'ensemble N, Pour tout n > ou égal à no, |un-l|
Je ne vois pas comment.... Pouvez-vous me donner une piste?

2/
Soient (Un)n appartenant à l'ensemble N et (Vn)n appartenant à l'ensemble N deux suites réeles telles que lim n->+inf(UnVn)=1 et
Pour tout n appartenant à l'ensemble N, 0 < ou égal à Un < ou égal 1, 0 < ou égal à Vn < ou égal 1

Ces suites convergent-elles, et si oui que peut-on dire de leur limite ? Indication : on pourra utiliser le théorème des gendarmes.

Pour cette exercice, pour savoir si les suites convergent je suppose qu'il faut démontrer qu'elles sont décroissantes et minorées ou croissantes majorées mais comment ? je ne vois pas d'informations concercant un+1 pour faire un+1-un

[Robic]

Bonsoir ! Il est bientôt minuit, heure fatifique à partir de laquelle je commence à radoter, mais je vais essayer de dire un truc constructif (sans te donner la solution) pour la question 1.

Voici la méthode pour ce genre de question.

1) On demande de démontrer un truc pour tout epsilon. Eh bien commence par « Soit Epsilon > 0 ». (Il est supposé quelconque, donc si on arrive à démontrer la propriété pour ce Epsilon quelconque, bien que fixé, la propriété sera vraie pour tout Epsilon.)

2) Que faut-il démontrer, maintenant que Epsilon a été choisi ? Il faut démontrer :
Il existe n0 entier naturel tel que pour tout n >= n0, |un - l| < Epsilon.

3) Ensuite on traduit avec les données de l'énoncé. Ça donne :
Il existe n0 entier naturel tel que pour tout n >= n0, | 1/n² | < Epsilon.
Et comme n² est positif, pas besoin de la valeur absolue. Tu dois donc démontrer que :
Il existe n0 entier naturel tel que pour tout n >= n0, 1/n² < Epsilon.

Et c'est seulement maintenant qu'on réfléchit (là on n'a rien fait, et pourtant c'est presque fini).

Ici Epsilon est donné, donc en gros tu dois résoudre une inéquation d'inconnue n ! Bon, ce n'est pas tout à fait ça parce qu'il y a aussi n0, mais si tu souviens que la suite des 1/n² est décroissante...

(Ouf, j'ai fini juste avant minuit, donc ça ne devrait pas être de trop mauvais conseils...)

Pour la question 2, j'ai regardé rapidement (mais cette fois il est plus de minuit, aïe...) et ce que je me suis dit, c'est qu'il est impossible qu'une des suites tende vers 0, car alors l'autre tendrait vers l'infini, or les deux sont sensées être majorées par 1. Pour la même raison il est impossible que l'une tende vers 1/2 sinon l'autre tendrait vers 2, ou que l'une tende vers 1/4 sinon l'autre tendrait vers 4. Ça suggère que si l'une des deux suites a une limite, l'autre aussi, et la seule solution serait 1 pour les deux limites. Si cette intuition est bonne, il resterait à la traduire en un raisonnement mathématique...

[kraziy]

Merci de ta réponse, je vais essayer de résoudre mes exos en suivant tes conseils..

[Robic]

Pour la 2, j'ai trouvé en utilisant l'indication. Utilise l'indication !

Astuce : pars de un <= 1 et multiplie tout par vn, tu obtiendras une nouvelle inégalité dont le membre de gauche admet une limite. Et le membre de droite ? Majore-le de façon évidente. Ça donnera la limite de vn... (J'espère n'en avoir pas trop dit. Moralité : il faut suivre les indications de l'énoncé !)

[kraziy]

Merci beaucoup de tes réponses !

Mais comment démontrer ?
"2) Que faut-il démontrer, maintenant que Epsilon a été choisi ? Il faut démontrer :
Il existe n0 entier naturel tel que pour tout n >= n0, |un - l| < Epsilon."

[Robic]

Ça, c'est l'étape intermédiaire ! Il faut aller plus loin. Ce qu'on veut démontrer, c'est :
Il existe n0 entier naturel tel que pour tout n >= n0, 1/n² < Epsilon.

(J'espère que tu as compris la méthode : on part de la question initiale qu'on simplifie en utilisant les données de l'énoncé. par exemple ici |un - l| peut se remplacer par 1/n².)

Est-ce que tu sais trouver un n0 tel que 1/(n0)² < Epsilon, Epsilon étant donné ? Normalement oui, il suffit de résoudre l'inéquation 1/x² < Epsilon, où Epsilon est une donnée et x est l'inconnue.

Une fois ce n0 trouvé, il faudra vérifier que si n > n0, on a toujours 1/n² < Epsilon.