Exos Dvlpts limités

[val14]

bonjour à tous, je suis ennuyé, je suis tombé malade assez gravement, ce qui m'a obligé à manquer 3semaines de cours, et lundi prochain j'ai des exercices notés à rendre (et qui seront notés), et je suis totalement perdu dans les cours que j'ai à rattraper ...
je vous communique les énoncés, et si certains d'entre vous sont capables d'y répondre, je les remercie sincèrement de me venir en aide...

1/ en utilisant une formule de Mac-Laurin, prouver l'encadrement :
qq soit 0
2/ dvltp limité de f(x)=racine carrée(ln(e+x)) à l'ordre 2 au point x=0

3/ g définie par g(x)=sinx/(e^x - 1) pour x différent de 0 et g(0)=1
a/montrer que g est continue sur R
b/calculer le dvlpt limité de g à l'ordre 3 en x=0

4/donner un équivalent en a*x^n pour les fonctions suivantes au point x=0
a/f(x)=x*ln(1+x²)-(sinx)^3
b/g(x)=x^3 * (sinx)*(shx)*(racine carrée(1+x²) - racine carrée(1-x²))
en déduire la limite de f(x)/g(x) quand x tend vers 0

5/étudier la convergence et calculer l'intégrale généralisée suivante :
dt/(1+t+t²) intervalle : en -l'infini;+l'infini

merci à tous, et j'attendant vos réponses avec hâte et une grande attention

[Purrace]

1)Tu peut aussi utiliser Taylor young
2)Factorise par e dans le ln et applique tes formule de cours.
3)tu écrit que sinx/(e^x-1)=((sinx-sin0)/(x-0))*(x-0)/(e^x-1) et utilise la continuité de sin et e^x en 0.
Le reste c'est du cours.
4/cours
5)le trinome t^2 +t+1>0 pour tout t appartenant a R et effectuer majo mino

[leon1789]

1)Tu peut aussi utiliser Taylor young

je ne pense pas...

[busard_des_roseaux]

Bjr,

pour la (5), il suffit d'écrire le trinôme
sous forme canonique et de primitiver en arctangente.

[busard_des_roseaux]

re,

pour la (1), on peut appliquer la formule de Mac-Laurin.
Celle-çi n'est qu'une formule d'accroissement finis, mais à
l'ordre n >1.

si
il existe tel que:




et l'encadrement



permet de conclure.

Question 2

En factorisant par e, il vient:



Pour calculer le DL de
on calcule celui de la progression géométrique

que l'on intégre de 0 à v:



on pose

une fois développé le logarithme à un ordre suffisant,
on pose z=P(x) le polynôme de valuation 1 obtenu et on développe

Ce dernier développement en série ressemble à une formule du binome.

question 3
On divise haut et bas par x.
Le Dl de sin(x) est supposé connu.
on en déduit celui de




Le Dl de est supposé connu.
on en déduit celui de



On pousse le DL suffisamment loin , on pose
le polynôme en x de valuation 1 et on développe




4)
sh est la partie impaire de l'exponentielle,
il suffit de considérer les monômes de degrés impairs du DL de exp(x)
pour obtenir le DL du sh.

5)
(forme canonique)

on factorise



et ça s'intègre en arctangente en posant le changement de variable

Bonne convalescence. :we:

[val14]

merci, je vais tenter de résoudre ces exercices

[JO12]

je comprend pas trop d'ou elle sort ta formule:
busard_des_roseaux:
sinx =... +x^(5)/120 *cos(E)

et donc je comprends rien de ce que tu dis par la suite.
si on peut m'expliquer
merci

[busard_des_roseaux]

je comprend pas trop d'ou elle sort ta formule:
busard_des_roseaux:
sinx =... +x^(5)/120 *cos(E)

Bjr,

on applique le DL de Taylor avec reste intégral:





la deuxième formule de la moyenne donne


il existe tel que:

[Purrace]

Oui mais le epsilon dépend de x , quelle est l'intérêt?

[busard_des_roseaux]

Oui mais le epsilon dépend de x , quelle est l'intérêt?

il n'y a pas de epsilon :doh: où est-ce que tu vois un epsilon ?

[busard_des_roseaux]

on intègre ce machin là.



après simplification:



une formule de ce type là (style TAF) sert à encadrer le reste de Taylor entre 0 et pour . Sinon , avec Taylor-Young, on obtient l'existence d'un encadrement
dans un voisinage non précisé (pour x "assez petit") . Içi, l'inégalité est valide sur

[makelele]

puisque l'on est dans les développements limités est ce que vous pourriez m'expliqué comment on démontre les DL de bases genre sin x ou cos x?

[makelele]

personne pour m'aider???

[busard_des_roseaux]

puisque l'on est dans les développements limités est ce que vous pourriez m'expliqué comment on démontre les DL de bases genre sin x ou cos x?

sin est une fonction indéfiniment dérivable sur

à l'ordre 1, elle est la primitive de sa dérivée:


on intégre par parties, selon la variable d'intégration t, en posant



on trouve:


en intégrant encore (n-1) fois par parties, on trouve le DL
de Taylor avec reste intégral:



Il ne reste plus qu'à montrer que le reste, écrit sous forme de cette intégrale
tend plus vite vers zéro que quand x tend vers zéro.

Il suffit d'avoir un majorant de la dérivée (n+1)ième sur le compact

Pour sin et cos, toutes les dérivées sont majorées par 1 en valeur absolue.

[makelele]

je ne te suis pas la
u'=1 u=x-t c'est t la variable

[JO12]

es ce la bonne reponse pour l'exo 2?

developpement limité a l'ordre 2 en x=0
de (ln(e+x))^(1/2)

on factorise par e dans le ln:
(1+ln(1+x/e))^(1/2)

on pose u=x/e
soit : (1+ln(1+u))^(1/2)

Le DL de ln(1+u)= u-u^3/3! +[u^3E(u)]
avec E(u) tend vers 0 donc on sen fou...

Si on pose Y=ln(1+u)

alors (1+Y)^(1/2)= 1+1/2Y-1/8Y^2 + E'(y) (qui tend vers 0)

en remplacant Y par le DL de ln(1+u), et en tronquant les terme de degree superieur à 2; on a:

(ln(1+u))^(1/2)= 1+1/2u-1/8u²+ u²*E''(u) (qui tend vers 0)

enfin il suffit de remplacer u par x/e
et c'est fini!

quelqu'un peut me dire si c'est juste?

[busard_des_roseaux]

je ne te suis pas la
u'=1 u=x-t c'est t la variable

x est fixé. t est la variable (d'intégration).
Effectivement, le problème philosophique est de savoir

si l'on peut considérer une "variable" t, comme ça , qui varie
dans l'intervalle [0;x]. La réponse est sûrement oui,
car est un continuum.
Tout cela est lié à la notion d'intervalle.

Quand une variable a crû de 0 à ,
on peut moyenner ses valeurs prises
d'une part parce que est un continuum
d'autre part parce que la mesure de lebesgue est uniforme
et définie sur la tribu des boréliens, donc sur les intervalles.

conclusion : pour 36000 raisons, on peut intégrer par rapport
à une variable t dans un intervalle
ça ne marcherait pas si le domaine de définition de f avait plusieurs composantes connexes.

[val14]

merci beaucoup, je vois que certaines personnes s'intéressent fortement à certains exos, tout cela m'aide beaucoup ! je pense finir ces exos à temps et tout cela grâce à vous !
bonne continuation à tous

[nabla86]

salut à tous, pour tous les exo du DM ( celui de la 1ère page) j'ai réussi sauf le 1er malgré les explications. Pouvez vous essayer de me faire une réponse assez détaillé svp car je galère trop sur celui la...
merci d'avance

[nabla86]

salut, est ce que quelqu'un pourrait m'aider?? après la dernière étape de l'exo 1 (sin x = x - x^3/6 + x^5/120 cos( ) ),je ne vois pas comment on peut obtenir le résultat final.