Exo Ulm section B/L

[michal]

Bonjour,

Je vous soumets un exo de probas donné à l'oral d'Ulm en section B/L en 2004.
Je n'arrive pas à faire la question 3 et j'en viens à penser qu'elle est fausse.
Il est peut-être possible d'obtenir une majoration similaire...

Soit X_{1},...,X_{k},... des variables aléatoires
indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p. Soit
N une variable aléatoire indépendante des variables
aléatoires de Bernoulli précédentes suivant une loi de
Poisson de paramètre entier n>= 1. Pour tout entier
k>=1, on pose S_{k}=X_{1}+...+X_{k}.
On définit de plus S_{0}=0.

1. Calculer la loi de la variable aléatoire S_{N}.
2. Vérifier que E(S_N-S_n) =0.
3. Etablir que E((S_N-S_n)^2) <=sqrt{n}p(1-p)
4. En déduire que pour tout epsilon > 0 et tout
alpha\in ] 0, 3/4 [ ,
\lim_{n\rightarrow\infty}P(n^{alpha}|S_N/n-S_n/n| >=epsilon) =0

PS. Est-ce qu'on peut taper des maths en utilisant latex sur ce forum et est-ce que c'est expliqué quelque part ?

[leibniz]

PS. Est-ce qu'on peut taper des maths en utilisant latex sur ce forum et est-ce que c'est expliqué quelque part ?

Oui, tu peux voir ici http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=3414

[michal]

Soit des variables aléatoires
indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre . Soit
une variable aléatoire indépendante des variables aléatoires de
Bernoulli précédentes suivant une loi de Poisson de paramètre entier .
Pour tout entier , on pose
. On définit de plus .

1. Calculer la loi de la variable aléatoire .

2. Vérifier que .

3. Etablir que .

4. En déduire que pour tout et tout
,


c'est quand même plus beau...

[Anonyme]

Euh... Il n'y a pas de probabilistes sur ce forum ?