Exo topo pas evident

[ffpower]

J ai cheché un ptit moment mais je vois pas comment partir:
Soit (X,d) un espace metrique.Montrez que X est compact si et seulement si pour toute métrique d' équivalente a d ,(X,d') est complet.Ya bien sur un sens facile,c est l autre qui m interesse.Bonnne chance
(si qqun trouve,qu il me donne juste une piste svp)

[ThSQ]

Superbe résultat.

Une des difficultés vient du fait qu'il y a des tonnes de caractérisation des métriques complets ou compacts. La piste précompact + complet pourtant prometteuse vu le contexte ne m'a pas réussi ...

Une proposition de piste :

On peut se ramener à d borné par 1 (en prenant min(1,d) par ex.)


Idée directrice : On suppose (X,d) non compact, on prend une suite décroissante de fermés d'intersection vide et on construit une métrique d2 telle que (par ex.), ensuite on construit une suite de Cauchy () de (E,d2), avec dans , qui ne peut être convergente vu que l'intersection est vide. Contradiction.

On définit par :
- si x et y sont dans F_n
- si x n'est pas dans F_n et y est dans F_n (distance à une partie)
- si x est dans F_n et y n'est pas dans F_n
- sinon. (le 2ème terme pour l'inég triangulaire)

C'est une sorte de distance quotient de d par , c'est bien sûr pas une distance car elle est nulle sur (semi-distance).



d2 est une distance (j'ai pas tout vérifié mais ça semble bon), topologiquement équivalente à d.

les F_n sont fermés pour d2 aussi par hypothèse

On a donc tous les éléments pour avoir la contradiction.

[ffpower]

Je suis content que mon exo interesse quelqu un..En plus tes idees sont tres interessantes.Mais je crains que tes dn ne vérifient pas l inegalité triangulaire.
On aura pas dn(x,y)

[ThSQ]

Je suis content que mon exo interesse quelqu un..

La topo ça m'intéresse toujours mais ton exo est coriace !

Mais je crains que tes dn ne vérifient pas l inegalité triangulaire.

Ouais, tu as raison J'avais pas regardé tous les cas de figure, il faut "compenser" d(x,y) par la distance à F_n.

Je vais y réfléchir aujourd'hui (en cours, chuuut) mais



n'a plus le défaut que tu signalais.

[ffpower]

J ai du mal a croire qu un truc avec une telle tete puisse etre une metrique lol,donc j attendrai que tu le prouves^^.Sinon j ai pas reussi a exploiter la piste des fermés décroissant,mais je crois que j ai reussi en supposant X separable.Je prend xn une suite dense et
Sauf erreur,cette metrique est equivalente a d et de toute suite on peut extraire une suite de Cauchy.(autre maniere de le voir: est une injection bicontinue de X dans [0,1]^N,donc X est un fermé de [0,1]^N donc est compact)

Seulement prouver que X est séparable a l air toujours aussi chaud.Je vais essayer d adapter la methode en remplacant xn par des fermés ou un truc comme ca

[ThSQ]

J ai du mal a croire qu un truc avec une telle tete puisse etre une metrique lol,

Aussi farfelu que ça paraisse je crois bien que ça marche !

[ffpower]

Ah ben ouais,Ca m a ebahi mais ca a l air de marcher,et tout le reste a l air de marcher aussi..Donc la je dis repect total :jap: :jap: :jap: