Exo syst linéaires

[Yozamu]

Bonjour à tous.

J'ai essayé mon premier exercice d'algèbre, et j'aimerais savoir si mes réponses sont correctes, et si non, pourquoi sont-elles fausses.

Voici l'énoncé:
Les systemes S1 et S2 ont leurs inconnues x,y,z,t et leurs coefficients réels:
S1: z-5x=0 et y=0
S2: 2x-y+z=1
1) Préciser les rangs respectifs r1 et r2 de S1 et S2
2) Résoudre S1 et S2.

Pour la 1, j'ai dit que r1=2 et r2=1. Je ne sais pas comment justifier par écrit. C'est parce que dans S1 on a deux équations avec un premier membre non nul et dans S2 on a une equation avec un premier membre non nul. Est ce correct?

Pour la question 2, j'ai du mal. Je ne sais pas vraiment quoi répondre mais j'ai essayé:
S1={(x,0,-5x,t),(x,t)[appartiennent]R²)}
S2={((y-z+1)/2,2x+z-1,1-2x+y,t),(x,y,z,t)[appartiennent]R^4)}

Pour la deuxieme je suis encore moins sur que la premiere, surtout pour la deuxieme expression. D'ailleurs, si pour S1 c'est juste, je ne vois meme pas pourquoi j'ai exprimé z en fonction de x et pas l'inverse..

Merci d'avance

[Arnaud-29-31]

Tu as vu quoi sur la définition du rang et quoi comme méthodes pour le trouver ?

[Yozamu]

En fait, je ne sais meme pas vraiment ce que c'est..
Pour donner une reponse ici, j'ai simplement regardé le nombre d'équations avec un premier membre a coefficients non nuls, rien de plus, c'est peut etre pour ca que ça me paraissait simple..

[Yozamu]

je me suis appuyé sur ceci:
Notons r le nombre d’équations de (S;)) dont le premier membre est non nul. On peut montrer (voir
cours du second semestre) que la valeur de r ne dépend que du système linéaire initial (autrement dit,
dans tous les systèmes échelonnées réduits (S;)) équivalents à (S), le nombre d’équations dont le premier
membre est non nul est toujours le même). Cet entier r est appelé le rang du système linéaire (S).

[Arnaud-29-31]

Au temps pour moi j'avais lu rapidement, le résultat que tu proposes pour les rangs est juste.

Pour ce qu'est le rang, si tu prends la matrice de ton système, le rang est la dimension de l'espace image.
La méthode que tu décris si j'ai bien compris consiste à dénombrer le nombre d'équations indépendantes.

[Yozamu]

Si le nombre d'équations indépendantes est le nombre d'équations à premier membre à coefficients non nuls, c'est ça.

Le rang est la dimension de l'espace image? Je n'ai pas vu ce vocabulaire, a vrai dire, je n'ai pas beaucoup étudié la signification du rang du systeme

[Arnaud-29-31]

La notion de rang est surtout abordée dans les chapitres orientés matrices. S'il s'agit d'ici que d'un chapitre sur les systèmes c'est normal que tu n'aies pas plus d'infos sur le rang.

Oui, le rang est le nombres d'équations à premier membre a coefficient non nul MAIS dans le système échelonnés réduit (noté S') ce n'est pas le système d'origine.
Ce qui revient à utiliser la méthode de Gauss.

Par exemple ce système :



On a trois équations mais le rang vaut il 3 ?

[Yozamu]

"Oui, le rang est le nombres d'équations à premier membre a coefficient non nul MAIS dans le système échelonnés réduit (noté S') ce n'est pas le système d'origine."
C'est à dire ? Je n'ai pas bien compris ? A premier membre a coefficient non, dans le systeme echelonné reduit ou dans le systeme initial finalement?

"La notion de rang est surtout abordée dans les chapitres orientés matrices. S'il s'agit d'ici que d'un chapitre sur les systèmes c'est normal que tu n'aies pas plus d'infos sur le rang."
Effectivement je suis dans un chapitre sur les systemes, pourtant la prof nous fait écrire les systemes sous forme de matrices alors qu'on a jamais étudié ça.

[Yozamu]

Oh, et, aussi, la question est elle juste ou partiellement juste ?

Sinon, pourquoi?

[Arnaud-29-31]

Non, ce que tu proposes pour et n'est pas juste. Déjà dans tu propose des vecteur à 4 composantes alors qu'on est dans .
Et pour , tu as garder x,y,z et introduit en plus t.

Il faut exprimer l'ensemble des solution sous la forme de triplets (x,y,z) où on laisse la variable libre telle quelle et on exprime les variables directrices en fonction des variables libres.

Pour ca donne
Je te laisse chercher

[Yozamu]

Compris pour S1, merci.

Mais pour S2, plusieurs resultats peuvent etre correct donc c'est ça ?
On choisit une variable comme étant la variable libre, puis on exprime les deux variables liées en fonction de la variable libre?

EDIT: mais du coup je ne comprends pas, quelle est l'utilité de la variable t dans cet exo s'il ne faut pas l'inclure dans les solutions ?

EDIT2: Euh mais il doit y avoir deux variables libres dans S2 et une liée non?

[Arnaud-29-31]

Moi non plus je ne comprends pas pourquoi tu introduis t ... il n'y a pas de variable à introduire.
Oui pour , deux libres.

[Yozamu]

Donc t sert seulement a induire en erreur dans cet exercice ?
Pour S2, une solution possible est le triplet (x,y,1+y-2x) avec (x,y) appartiennent a R² c'est juste ?

[Arnaud-29-31]

Oops c'est moi qui n'avait pas vu le t dans l'énoncé. Je pensais à la vue du système qu'on travaillait dans

Si on te dit que les variables sont x,y,z,t alors on est dans .
t n'apparait pas dans le système, il n'y a donc aucune contrainte sur t, c'est une variable libre.
Les solutions de sont

[Yozamu]

Ah voilà ok, donc pour S2 ça donne:
(x,y,1+y-2x,t) avec (x,y,t) appartiennent à R^3 ?

[Arnaud-29-31]

Oui. C'est bien ça.

[Yozamu]

D'accord merci, je pense avoir compris l'exo.