Exo sur les ensembles (compliqué ?)

[Kugge]

Bonjour,
J'ai une "formule d'ensembles" et plusieurs choses à vérifier à propos de cette dernière.
Le problème étant que je ne sais pas comment attaquer le sujet, même après avoir passé plusieurs jours dessus.
J'ai réussi a résoudre 3 des 8 questions sur cette "formule d'ensembles" avec des contre exemples aléatoires, mais j'ai vraiment du mal avec celles que je vais citer..

Voilà cette "formule d'ensemble" : (E l'ensemble contenant A B et C)

Et il faut vérifier les égalités suivantes : (j'ai mis uniquement celles auquel je n'ai pas de réponses)






Comment arriver a résoudre ce problème (Sans donner la réponse évidemment) ? Je n'ai aucune idée de quoi faire ni de comment attaquer le truc

Merci d'avance pour vos réponses

[Mimosa]

Bonjour

Tu pourrais faire un dessin (diagramme de Venn, familièrement appelée patatoïde). En utilisant seulement les définitions, c'est une question de patience.

Voilà pour le début: Soit . Alors , donc

Essaye de continuer.

[Kugge]

Soit . Alors , donc

Je ne comprend pas cette implication, pouvons nous tirer la conclusion que avec ?

EDIT : Oui, j'ai compris avec un exemple ci dessous

[beagle]

C'est quoi la question d'un tel exo?

savoir si c'est vrai quelque soit A ,B, C

ou savoir pour quels A,B,C c'est vrai = possible?

[pascal16]

le diagramme de Venn aide bien, ensuite, on rédige plus facilement

Z=((AUB)⋂C)U((A⋂B)⋂(E\C))

((A⋂B)⋂(E\C)) est contenu dans A cars intersection d'ensembles dont un est A.

(AUB)⋂C) est inclus dans AUB

Mais A est inclus dans AUB

Z est inclus AUB

[Kugge]

C'est quoi la question d'un tel exo?

savoir si c'est vrai quelque soit A ,B, C

ou savoir pour quels A,B,C c'est vrai = possible?

Quelque soit A B et C sinon ça aurait été trop facile

le diagramme de Venn aide bien, ensuite, on rédige plus facilement

Z=((AUB)⋂C)U((A⋂B)⋂(E\C))

((A⋂B)⋂(E\C)) est contenu dans A cars intersection d'ensembles dont un est A.

(AUB)⋂C) est inclus dans AUB

Mais A est inclus dans AUB

Z est inclus AUB

D'accord, j'ai compris merci (j'avais encore tendance a confondre égalité et subset)

[beagle]

sinon ça va vite à dire que c'est l'union des 3 inter
Z = (A inter C) union (B inter C) union (A inter B)
zut j'ai fait la dernière,
je trouve plus simple à manipuler ensuite mais bon...

[LB2]

Z est la partie de E constituée des éléments appartenant à au moins deux des sous ensembles A,B,C.
Cela se voit (conjecture) assez facilement par diagramme de Venn et se démontre par double inclusion.

Les inclusions ou égalités proposées en découlent directement.

[pascal16]

[pascal16]

soit, sauf erreur de ma part
Vrai
Vrai
Vrai
Faux (cas A inter C inter E par exemple)
Faux (la petite zone blanche de reste de A inter B)

[LB2]

Je crois que E contient A, B et C en hypothèse

[Kugge]

Merci à tous pour votre aide !
J'ai quelques autres questions, pouvons nous dire que :
1) ?
2) ?
3) ?
4) ?
Si non, pourquoi ?

[Kugge]

Je crois que E contient A, B et C en hypothèse

Oui effectivement, j'ai précisé : (E l'ensemble contenant A B et C)

[pascal16]

dans le coup, ça va pas faire bcp de "faux".



les 'tour' est aussi dans E privé de C si E contient d'autres éléments que ceux de A, B et C.
seule la 4 serait fausse ?

[LB2]

Merci à tous pour votre aide !
J'ai quelques autres questions, pouvons nous dire que :
1) ?
2) ?
3) ?
4) ?
Si non, pourquoi ?

Fais des diagrammes de Venn à chaque fois ça te donnera le résultat, et rédige le avec un raisonnement sur les éléments (Soit x dans ... Montrons que ...)

[GaBuZoMeu]

Pas obligatoire d'utiliser des éléments. Penser à utiliser la double distributivité (que je suppose acquise)
Le 2 est juste la distributivité. Que vient d'ailleurs faire ce symbole ? Ce devrait être =, tout simplement.
Pour 1 et chacun des deux termes de l'union est clairement contenu dans .
etc.

[LB2]

Effectivement tu n'es pas obligé d'utiliser les éléments, tu peux aussi utiliser directement les opérations sur les ensembles.
Une autre (encore!) méthode :
On appelle L(A,B,C) l'expression de gauche et R(A,B,C) l'expression de droite.
On dresse un tableau d'appartenance (ressemble à une table de vérité) en mettant 5 colonnes : A,B,C, L(A,B,C) et R(A,B,C) et 8 lignes (tous les triplets (1A,1B,1C) où 1X vaut 0 ou 1 ce qui donne 2^3 = 8 possibilités).
Il y a égalité entre L et R si et seulement si leur "valeur d'appartenance" (0 ou 1) coïncident sur les 8 lignes.

[fatal_error]

J'avais jamais vu qu'on pouvait résoudre les opérations sur les ensembles en mode algèbre de Boole

Marrant de remarquer que les lignes pour lesquelles L vaut 1, si R aussi, R est inclus dans L et si on a la reciproque (idem toutes les lignes égales) on retrouve bien l'égalité (double inclusion)

Ca a le merite de pas tracer des patatoides..

[LB2]

Exactement @fatal_error, c'est de l'algèbre de Boole. C'est clairement long, mais ça a le mérite de montrer que les problèmes "ensemblistes" et "logiques" peuvent être traités avec un formalisme similaire.
En fait la notion de fonction indicatrice est le "dictionnaire" entre ces deux formulations.
Et tu as raison de remarquer comment se traduit la relation en terme de 0 et de 1.
Plus précisément , pour les propositions se traduit par pour les ensembles, pour les propositions se traduit par pour les ensembles, et pour les propositions se traduit par pour les ensembles

[GaBuZoMeu]

On peut en fait voir que tracer des patatoïdes (diagramme de Venn) ou dresser une table de vérité, c'est complètement kif-kif. Quand on joue avec trois parties, les 2³ = 8 régions du diagramme de Venn correspondent très exactement aux huit lignes de la table de vérité. Le diagramme de Venn, c'est plus visuel, mais avec la table de vérité on n'a pas besoin de se demander comment dessiner la 5e patate.