Exo rotations

[stan75]

bonjour, pourriez vous m'aider pour l'esxercice suivant s'il vous plait:
soient p et q deux nombre complexes non nuls fixés on note p(x)=x^3+px+q et a,b,c ses racines
on suppose que ses racines forment un triangle rectangle isocèle en a
que vaut a+b+c? j'ai essayer de trouver des conditions avec des rotations pour que le rectangle soit isocèle rectangle je trouve que a+b+c=3a mais j'aimagine que ce n'est pas ceci qu'il faut trouver
ensuite, il faut montrer que quitte à permuter b et c on a : b-ic=a(1-i) merci d'avance pour votre aide

[Sa Majesté]

Bonjour,
La valeur de a+b+c ne dépend pas du fait que les racines forment un triangle rectangle isocèle en a
Si p(x)=x^3+px+q et que a,b,c sont les racines de p
Alors x^3+px+q=(x-a)(x-b)(x-c)
Développe (x-a)(x-b)(x-c) et identifie les coef de x^3, de x², de x et constants

[stan75]

ahh merci beaucoup en plus je me rend compte que ce que j'avais fait avant était complètement idiot j'aivais dit que c'était un triangle isocèle rectangle si et seulement si (c-a)² + (b-a)²=0 en disant que cela équivalait à c-a=0 et b-a=0 ce qui est idiot car cela voudrait dire que le triangle est un point a :triste: heureusement que la honte ne tue pas :we: merci encore

[Sa Majesté]

Une fois que tu auras trouvé a+b+c, il faut exprimer le fait que le triangle est rectangle isocèle en a

[stan75]

merci encore :)

[stan75]

je suis désolé je ne comprend pas quelque chose on nous dit montrer que b-ic=a(1-i) ce qui équivaut à montrer que b-a=0 et a-c=0 j'utilise l'égalité montrée précédemment grace à la rotation ce qui me conduit à ABC est isocèle rectangle si ete seulement si c-a=0 et b-a=0 mais ça veut bien dire que c=a et b=a donc que a,b,c sont confondus?

[Sa Majesté]

je suis désolé je ne comprend pas quelque chose on nous dit montrer que b-ic=a(1-i) ce qui équivaut à montrer que b-a=0 et a-c=0 j'utilise l'égalité montrée précédemment grace à la rotation ce qui me conduit à ABC est isocèle rectangle si ete seulement si c-a=0 et b-a=0 mais ça veut bien dire que c=a et b=a donc que a,b,c sont confondus?

Peux-tu expliquer plus précisément comment tu arrives à cette conclusion, je ne te suis pas trop ...

[stan75]

en faite j'ai dis que abc est rectangle isocèle si et seulement si c est l'image de b par une rotation de centre a et d'angle + ou - pi/2 d'ou c-a=+ ou - i(b-a) en élevant au carré (c-a)/(b-a)=+ou- i on trouve (c-a)²+(b-a)²=0 d' ou c-a=0 et b-a=0
la question est de montrer que b-ic=a(1-i) ce qui équivaut à montrer car un complexe et nul si et seulement si parties réelles et imaginaires sont nulles que c-a=0 et (b-a)=0 donc que c=a et b=a or si b=a=c alors le triangle ets un point?
j'avoue etre perdu :briques:

[Sa Majesté]

en faite j'ai dis que abc est rectangle isocèle si et seulement si c est l'image de b par une rotation de centre a et d'angle + ou - pi/2 d'ou c-a=+ ou - i(b-a) en élevant au carré (c-a)/(b-a)=+ou- i on trouve (c-a)²+(b-a)²=0 d' ou c-a=0 et b-a=0

OK alors c'est là que tu fais erreur
Tu raisonnes comme dans IR mais (c-a)² et (b-a)² sont des complexes
Par ex
i² + 1² = 0 mais i et 1 sont différents de 0

[stan75]

a oui c'est vrai mais alors pour montrer que b-ic=a(1-i) vous l'aviez conseillé de passer par des considérations géométriques mais je ne vois pas comment faire puisque je retombe sur cette èquation

[Sa Majesté]

Tu as quasiment trouvé
A partir de c'est pas trop difficile

[stan75]

merci ;)

[Sa Majesté]

Par contre, comme tu l'as justement fait remarquer, on peut aussi avoir

Peut-être que ton énoncé est incomplet ?

[ffpower]

"quitte a permuter b et c",ca marche

[Sa Majesté]

Exact ! :++: