Exo défi : Intégrale et norme

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Suite à une discussion intéressante sur un autre forum, je vous propose deux exercices, le premier de niveau TS est plutôt élémentaire. Le second, qui en est une généralisation est bizarrement un peu plus difficile :

1) Pour une fonction f intégrable (au sens de Riemann) sur un segment I, |f| est intégrable sur I et :

2) Soit (E,||.||) un espace vectoriel normé mesurable (sans restriction de dimension) et f intégrable par rapport à une certaine mesure sur E.

Montrer que

Amusez-vous bien.

:happy3:

[yos]

Salut.
Comme tout ça est en général dans le cours, on peut se demander à quoi on a droit.

1) Si f est à valeurs réelles, j'encadre f par -|f| et |f| avant d'intégrer les trois membres.

Si f est à valeurs complexes, c'est plus délicat si mes souvenirs sont bons. On multiplie l'intégrale de f par un complexe convenable pour obtenir . On a alors
.

2) Un evn métrisable?? C'est pas un pléonasme ça?

[Nightmare]

mesurable, au temps pour moi!