Exo convergence

[sexapil64]

:help: Voila je suis etudiant en master stat et j'ai suivi un enseignement précédemment qui ne m'as pas permi d'assurer mon exam (ou alors mon QI est trop faible :briques: ) ... on doit refaire l'exercice suivant mais je n'y arrive pas forcément donc quelqu'un peut-il m'aider ??? siouplé !


Voici le sujet :

On considère l'espace probabilisé (omega=[0,1], B[0,1], P) où B[0,1] est la tribu des boréliens de l'intervalle [0,1] et où P est la mesure de Lebesgue sur [0,1], et (Xn) la suite de var définies sur cet espace probabilisé par :

[CENTER]qqesoit n>=1, Xn=sqrt(n).1[0,1/(n^alpha)] [/CENTER]

avec 1[0,1/(n^alpha)] l'indicatrice sur l'intervalle [0 ; 1/(n^alpha)]
alpha=réel strictement positif donné

1.POur tout entier n>=1
a. déterminer la loi de probabilité de (Xn)
b. calculer l'espérance math. et la variance de Xn

2.Montrer (en utilisant l'archimédisme de R) (apparement ca veut dire qu'il faut majorer et minorer ... eh oui je n'ai pas appris ce que c'était :mur: mais pas ma faute on l'a jamais vu) que la suite (Xn) converge :
a. en probabilité
b. presque sûrement

3. Donner une condition nécessaire et suffisante (portant sur alpha) pour que la suite (Xn) converge en moyenne quadratique ?

4. On suppose que les v.a.r Xn sont indépendantes. Donner une condition suffisante pour que la série (GRANDSIGMA Xn) converge presque sûrement

[tize]

Bonsoir,

et
donc:
.
Il y a convergence en probabilité vers 0 si pour tout .
Ici quelque soit il existe un rang à partir duquel et donc .
La convergence presque sur est facile...
Convergence en moyenne quadratique :
qui tend vers 0 ssi .