Exo base a trouver [Prépa]

par **Shen gongbao** » 12 Déc 2006, 22:26

bonjour, je ne sais pas si cet exo a déja fait l'objet d'un topic mais j'aurai besoin de la solution en tout cas ^^

E est l'ensemble des applications u de lR dans lR qui sont dérivables et qui vérifient pour tout t appartenant a lR : t*u'(t)-u(t)=0
1)montrer que E est un lR espace vectoriel ca c'est bon
et trouver une base de E

2)meme question pour t vérifiant: t*u'(t)-3*u(t)=0

ca a pas l'air trop dur mais je vois pas comment me lancer

merci d'avance :)

par **fahr451** » 12 Déc 2006, 22:37

il faut résoudre l 'équa diff pour voir exactement la forme des solutions
la question clé est sur quel ensemble cherche t on les solutions
tu indiques R; la réponse est différente si c 'est sur R+* , R*

par **mathelot** » 12 Déc 2006, 22:40

et puis, il y a le problème en t=0. Le problème n'est pas de Cauchy. On pourra peut être obtenir des solutions sur R tout entier, qui sait ? Dans le second problème, il n'y a pas unicité de la solution maximale (sur R tout entier).

par **fahr451** » 12 Déc 2006, 22:42

ben vi sur R c est clair

par **Shen gongbao** » 12 Déc 2006, 23:06

Merci beaucoup

je vais m'y atteler

les équa diff on venait seulement de faire le cours j'avai pas percuté je cherchais encore avec des matrices et tout :S

il est cool ce forum les réponses sont rapides :)

par **Shen gongbao** » 12 Déc 2006, 23:45

par contre comment on en déduit la base je pige pas :p
parceque comme solution j'ai
u(t)=K*t pour le premier
u(t)=K*(t^3) pour le second

donc le premier c'est une droite la base c'est le vecteur suivant t c'est ca?
mais je vois pas ou intervient R+ parcque le vecteur de la base est bien toujours sur la droite non?

pour la seconde équation la base je vois pas trop...

par **nuage** » 12 Déc 2006, 23:46

Salut,
pour la première question une base est la fonction identité

.
Pour la deuxième j'ai l'impression, mais je n'ai pas fait les calculs, que l'espace vectoriel des solutions est de dimension infinie. En effet on a un raccord dérivable entre

pour t>0 et

pour t<0 .

A+

par **Shen gongbao** » 12 Déc 2006, 23:53

merci :)

tu me sauve je passe demain au tableau ca l'aurait pas fait :)

par **fahr451** » 13 Déc 2006, 05:36

attention

la résolution se fait en effet sur chaque intervalle ]-inf ,0[; ]0,+inf[ ds un premier temps on trouve at^3 sur chaque intervalle d'où sur R*

at^3 pour t<0 et bt^3 pour t>0 puis sur R en effet même chose a et b QUELCONQUES . d'une façon générale (et naive) la dim d 'un ev est le nombre de "paramètres indépendants pour définir un vecteur qq de l 'espace"
ici c'est donc 2. Pour trouver une base on définit
f et g sur R avec f(t) = t^3 t<0 et f(t)= 0 t>=0 et g(t) = 0 t<0 et
g(t) = t^3 t>=0
y est sol ssi y = af +bg ;(a,b) qq donc (f,g) génératrice de E et clairement libre donc base de E ce qui prouve que la dim est 2.

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