PB exo avec serie de Fourier

[pluto74]

Bonjour,

Je rencontre une difficulté dans un exercice et cela me tracasse... :cry: Je viens donc demander l'avis à plus expérimenté ! Je vous expose le problème :

Soit la fonction f définie sur R et à valeur dans R, 2PI périodique f(t) = | cos(t) |^3 (Soit les coefficients de Fourier (an) et (bn) usuels sur l'intervalle [-PI ; +PI] ).
1- Dans un premier temps il faut montrer qu'elle est paire et de classe C1.
2- Ainsi ses coefficients de Fourier (bn) sont nuls.
3- Puis montrer que (an)=0 si n est impaire :!:
4- décomposé (cost(t))^3 en somme de cos(t) et cos(3t) (pas de soucis)
5- En déduire (an) pour n pair (n=2p et apparement avec une différence avec p pair ou p impair) :!:
...(suite de l'exercice).

Voila je reste bloqué sur les points 3 et 5. Je ne vois pas comment sans calculer les (an) on peut prétendre qu'ils seront nuls si n est impair; et quand j'essaie de faire l'intégration pour calculer les (an) je trouve tout le temps un résultat nul, et je ne vois pas d'où viens mon erreur... :briques:

D'avance merci pour le coup de pouce !

[busard_des_roseaux]

bjr,
le changement de variable donne:

d'où le résultat.

petit truc pour diminuer les erreurs de calcul :we: :




car l'intégrande est paire. Puis Chasles , et sur l'intervalle
on fait le changement de variable pour se ramener à
intégrer sur

[pluto74]

Merci beaucoup pour la réponse ! en effet c'est plus facile d'intégrer sur [ 0 ; PI/2 ] !
Bonne soirée !