Exo d'algèbre linéaire théorique!

[bourbaki]

bonjour
j'ai besoin d'aide pour cet exo d'algèbre linéaire:

soit F un sous-espace vectoriel de C[X] de dimension finie n supérieure ou égal à 1.
a) montrer que F admet une base formée de polynomes tous de même degré .
b) montrer que F admet une base (Pi) i variant de 1 à n telle que la suite Deg(Pi) est strictement croissante.

pour la question a) je ne vois pas du tout comment une famille de polynomes TOUS DE MEME DEGRé peut etre une base ?!!

pour la b) on sait qu'une famille de polynome de degré deux à deux distinct est une base , mais je ne sais pas comment rédiger la réponse.

merci de vore aide :++:

[yos]

Par exemple X et X+1 forment une base de R1[X]. Par exemple 1 s'écrit (X+1)-X.

[aviateurpilot]

c'est quoi C[X] (n dim)??
si c'est l'ensemble des polynomes de degré inferieur ou egale à n.
a) avec est une base

b) avec pour et

sinon, je pense que c'est l'idée

[abcd22]

Bonjour,
On peut répondre aux deux questions en partant d'une base de F et en modifiant ses éléments en ajoutant des combinaisons linéaires d'autres éléments de la base pour obtenir une base qui répond à la question. Par exemple si (X³ - 1, X² + 1) est une base de F, (X³ - 1, (X³ - 1) + X² + 1) = (X³ - 1, X³ + X²) est aussi une base.
Pour la b) il faut peut-être une récurrence sur dim F pour bien rédiger.

[aviateurpilot]

c'est koi C[X] ???

[yos]

c'est koi C[X] ???

L'ensemble des polynômes à coefficients complexes (et à une indéterminée X)