Existence d'une limite !

[barbu23]

Bonsoir :
La fonction n'est pas localement integrable ( problème en )
Est ce que quelqu'un peut m'eclaircir pourquoi la distribution suivante existe ( pourquoi la limite existe ) :
:

Merci d'avance de vos reponses !

[Doraki]

la limite existe tant que tu décomposes pas la limite en deux (comme t'as fait au milieu de ton calcul, pas bien !!)

(phi(x) - phi(-x))/x tend vers une limite en 0 donc pour la dernière expression de ton intégrale, il n'y a aucun problème.

[barbu23]

Oui, mais comment savoir si ça existe ou non ? c'est ça le problème ! :triste:

[Doraki]

T'es d'accord avec ça ?

Pour quelle raison est-ce que la limite de l'intégrale de droite n'existerait pas ?
La fonction intégrée a une limite en 0 dès que phi est dérivable en 0, donc où est le problème ?

[barbu23]

Ben je crois que je commence à comprendre pourquoi, mais le problème est quant tu dis que : a une limite en dès que est dérivable en
ça veut dire que :

Et cette dernière existe car :
C'est ça ? :happy2:

[barbu23]

Certains me disent que c'est aussi à cause du fait que : ...!
Pouvez vous m'exrpimer ce dernier argument ! que vient faire cette expression dans tout celà ?
Merci d'avance !

[Doraki]

phi est dérivable donc phi(x) = phi(0) + O(x) oui (on a plus précis que ça mais on y perd rien pour en déduire l'intégrabilité).

Donc (phi(x) - phi(-x))/x = (O(x) + O(x))/x = O(x)/x = O(1) :
Tout ça pour dire que la fonction que tu intègres est bornée au voisinage de 0 donc qu'il n'y a pas de problème

Et pour plus de précision, (phi(x) - phi(-x))/x tend bien vers 2*phi'(0)

[barbu23]

Merci doraki pour ces précisions ! :++:
est déribable c'est vrai, mais on en a pas besoin pour écrire :we: o bien je me trompe ? :hum: )

[Doraki]

Tu as besoin de quelque chose en tout cas.
phi(x) = phi(0) + O(x) est ridiculement faux si phi n'est que continue.
phi dérivable en 0 implique phi(x) = phi(0) + O(x) implique phi continue en 0,
et les réciproques sont fausses.