Existence de limite...

par **mimi59** » 10 Déc 2006, 14:54

Bonjour,

je suis en train de travailler une démonstation et quelque chose n'est pas très clair pour moi...
f est une fonction défini sur R,convexe et croissante et non constante.
dans cette démo,il est dit " Puisque f crossante limite de f en +infini existe"
pourquoi cela?
est-ce toujours vrai?

je croyais que c'était plutôt:toute fonction monotone sur I admet une limite fini à gauche et à droite en tout point intérieur à I. c'est bien ça?
existe-t-il un autre théorème pour le cas de la limite en +infini(non intérieur à I)? et comme le démontre-t-on?

par **fahr451** » 10 Déc 2006, 15:23

le théorème que tu cites est un cas particulier du théorème général :

f croissante ( cas décroissante idem) sur I intervalle alors si I majoré on pose a = sup I sinon a = + inf ; si g = f restreinte à I privé de a est majorée on pose L = sup g sinon L = + inf et on alors g admet L pour limite en a.
Le cas que tu cites est a et L réels.
par exemple pour a = +inf et L = inf une preuve est
Soit A réel g= f étant non majorée il existe x0 tel que f(x0) >A et par croissance de f pour x>= x0 on a f(x)>A ce qui est la définition de limf = +inf en + inf ; idem pour les autres cas.

par **mimi59** » 10 Déc 2006, 17:02

ok,merci beaucoup.
donc on a toujours pour toute fonction f définie sur R,'si f est croissante alors la limite de f en +infini existe.' même quand f n'est pas forcément majoré.

par **fahr451** » 10 Déc 2006, 17:27

absolument: limite finie ou non suivant que f est majorée ou non ( c 'est le pendant pour les fcts de la var réelle du résultat similaire pour les suites réelles)

par **mimi59** » 10 Déc 2006, 17:50

ok! merci beaucoup Fahr451!!!
:++:

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