Existence de limite (rapport avec les séries)

par **Anonyme** » 25 Sep 2005, 09:31

Bonjour à tous, voilà une question sur laquelle je sèche complètement :
soit u(n) une suite réelle vérifiant les deux conditions suivantes :
- pour tout n N, |u(n)|< 1
- la série de terme général u(n) est convergente

Montrer que la suite P(n) définie pour tout n par
P(n)=(1+u(0))*(1+u(1))*...*(1+u(n-1)*(1+u(n)) a une limite FINIE quand n tend vers plus l'infini. (En gros, P(n) désigne le produit des (1+u(k)) pour k variant de 0 à n, mais j'arrive pas à écrire le symbole du ''grand Pi'').

Mon idée est la suivante : montrer l'existence de la limite revient à montrer que la série de terme général ln(1+u(n)) converge. Ca aurait été trivial si on avait la condition 0
Comment faire ? Vous avez des idées ?
Merci d'avance.

par **Zebulon** » 25 Sep 2005, 11:04

Bonjour,
j'ai eu le même exercice l'an dernier. Si tu veux, je peux te guider un peu.
Déjà, tu commences bien en passant au ln. On peut montrer que la série de terme général ln(1+u(n)) est absolument convergente.
1) On va montrer que pour tout x appartenant à [-1/2,1/2], abs(ln(1+x))<=ln(4)abs(x).
a) Montrer que sur [0,1/2], abs(ln(1+x))<=x.
b) Montrer que sur [-1/2,0], abs(ln(1+x))<=ln(4)abs(x).
2) En déduire que la série de terme général ln(1+u(n)) est absolument convergente.
Indications supplémentaires:pour la question 1, pense aux propriétés de la fonction ln. Concavité/convexité par exemple... Pour la question 2, souviens-toi que la série de terme général u(n) est convergente...
Bon courage et à bientôt,
Zeb.

par **Anonyme** » 25 Sep 2005, 13:32

oki merci, je vais voir ça

par **Anonyme** » 25 Sep 2005, 14:03

hmm, mais je vois pas trop où ça mène.
Tout d'abord, on montre l'inégalité pour x [-1/2,1/2] alors que |u(n)|< 1.
Et en supposant que l'on ait l'inégalité pour x [-1,1], qu'est-ce qui nous permet de dire que la série de terme général |u(n)| converge ? (ce qui trivialiserait l'exo en fin de compte). On sait juste que la série de terme général u(n) converge.

Ou alors, j'ai rien compris ? lol
A bientôt.

par **Galt** » 25 Sep 2005, 14:15

Peut-être cet énoncé est-il faux ?
Si je pose

alors

qui est la somme d'une série absolument convergente, d'une série semi-convergente et d'une série divergente.

par **Anonyme** » 25 Sep 2005, 14:55

euh, le ''grand O'' de 1/(n*racine(n)) est une série divergente ? je vois pas trop, tu peux être plus clair ?

par **Galt** » 25 Sep 2005, 15:12

Le

est une série absolument convergente (je n'ai pas fait complètement le DL, c'est pour ça que j'ai mis O. La série harmonique est divergente et le

est une série alternée convergente.

par **quinto** » 25 Sep 2005, 15:31

j'aurai dit qu'il y'avait alternance de signe lorsque l'on fait le dl de ln(1+u), non?

par **Galt** » 25 Sep 2005, 15:41

Oui, c'est pour ça que j'ai mis

. Le terme suivant est en

(j'ai la flemme de calculer le coefficient) mais absolument convergent quand même.

Existence de limite (rapport avec les séries)

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