Existe-t-il une formule pour exprimer x^n+y^n+z^n

[Amoureux-des-Maths]

Bonjour à tous,

J'ai cherché hier à répondre à la question suivante : exprimer x^4+y^4+z^4 en fonction de
. x+y+z que j'ai appelé f1
. x^2+y^2+z^2 que j'ai appelé f2
. x^3+y^3+z^3 que j'ai appelé f3

J'y ai répondu ici : f4 en fonction de f1, f2 et f3

J'aurais aimé savoir s'il existe une formule générale pour exprimer fn en fonction de fn-1, ..., f2, f1? Sinon, pour la trouver, pensez-vous qu'il est possible de faire un programme?

A savoir que n devra être supérieur ou égal à 4, car f3 n'est pas combinaison linéaire de f1 et f2, idem pour f2, ce résultat peut se démontrer de plein de façons j'imagine, mais je l'ai fait via les bases de Gröbner.

Merci d'avance

[Doraki]

J'en doute fort.

par contre si tu continues, la suite (3, x+y+z, x²+y²+z², ...) est récurrente linéaire d'ordre 3,

ce qui veut dire que si tu connais 6 valeurs consécutives, (par exemple u0 u1 ... u5),
alors la 7ème (u6) est la valeur qui annule le déterminant

|u0 u1 u2 u3|
|u1 u2 u3 u4|
|u2 u3 u4 u5|
|u3 u4 u5 u6|

Plus généralement si tu prends k nombres tu as une relation de ce genre entre (2k+1) termes consécutifs de la suite obtenue.

[Amoureux-des-Maths]

J'en doute fort.

par contre si tu continues, la suite (3, x+y+z, x²+y²+z², ...) est récurrente linéaire d'ordre 3,

ce qui veut dire que si tu connais 6 valeurs consécutives, (par exemple u0 u1 ... u5),
alors la 7ème (u6) est la valeur qui annule le déterminant

|u0 u1 u2 u3|
|u1 u2 u3 u4|
|u2 u3 u4 u5|
|u3 u4 u5 u6|

Plus généralement si tu prends k nombres tu as une relation de ce genre entre (2k+1) termes consécutifs de la suite obtenue.

Merci pour ta réponse, toutefois je ne l'ai pas vraiment comprise. Qui annule le déterminant, comment ça? Je suis un peu à la ramasse, j'ai essayé de comprendre mais j'avoue que j'ai l'impression d'être un peu largué :soupir:

[zygomatique]

salut

si x, y et z sont les racines d'un même polynome on peut exprimer x^4 + y^4 +z^4 en fonctions des fonctions symétriques élémentaires de x, y et z ...

[Amoureux-des-Maths]

salut

si x, y et z sont les racines d'un même polynome on peut exprimer x^4 + y^4 +z^4 en fonctions des fonctions symétriques élémentaires de x, y et z ...

Oui dans le cas d'une fonction polynomiale de degré 4 je l'ai fait et vous ai mis le calcul dans mon premier message, mais ma question portait sur le cas du polynôme de degré n. J'imagine (imaginais, puisque doraki n'avait pas l'air convaincu) que c'est possible aussi d'exprimer x^n + y^n + z^n en fonction des f1, f2, ... fn-1 mais est-ce que c'est démontré ou démontrable, telle était ma question.

Parce que ce qui est sûr, c'est que les fonction symétriques élémentaires de x y et z sont exprimables à partir de mes fameux f1, f2, etc. je l'ai fait pour le cas n=4

[Doraki]

Tu peux toujours trouver une expression de fn en fonction de f1,f2,f3.

Je suis juste pas convaincu de l'existence d'une formule simple qui marche à tous les coups.

Par contre si tu demandes juste en fonction de f1,f2,..., f(n-1) alors là oui, avec le déterminant nul que j'ai mentionné. Il y a une fraction rationnelle g(x0,x1,x2,x3,x4,x5) telle que pour tout n, f(n+6) = g(f(n),f(n+1),f(n+2),f(n+3),f(n+4),f(n+5)), il suffit de développer le déterminant et d'isoler f(n+6)

[Amoureux-des-Maths]

Tu peux toujours trouver une expression de fn en fonction de f1,f2,f3.

Je suis juste pas convaincu de l'existence d'une formule simple qui marche à tous les coups.

Par contre si tu demandes juste en fonction de f1,f2,..., f(n-1) alors là oui, avec le déterminant nul que j'ai mentionné. Il y a une fraction rationnelle g(x0,x1,x2,x3,x4,x5) telle que pour tout n, f(n+6) = g(f(n),f(n+1),f(n+2),f(n+3),f(n+4),f(n+5)), il suffit de développer le déterminant et d'isoler f(n+6)

Ok, juste en fonction de f1, f2 et f3 parce que l'idéal engendré par f1, ... f4 (qu'on peut appeler I4) est l'idéal engendré par f1, f2 et f3 (donc I3=I4), et ainsi de suite donc l'idéal engendré par f1, ... fn est I3 (f1, f2, f3), donc on peut l'exprimer à partir de f1, f2 et f3? Ok, ça je pense comprendre, c'est le théorème de la base de hilbert, In=I3 donc?

L'histoire du déterminant, j'ai pris une bonne demi heure pour tout développer et isoler u6, pas très utile mais on trouve donc un truc en fonction de u1, u2, u3, u4 et u5. Par contre c'est sûrement débile mais ce sur quoi je bloque, c'est comment relier le déterminant=0 avec l'expression de f(n+6) justement..?

[Doraki]

ben ça te donne une équation.

Par exemple avec 1 seul nombre x, on a une suite 1, x, x², x^3 ... (pas follement intéressante)
si tu prends 3 termes consécutifs x^k, x^(k+1), x^(k+2), le déterminant
|x^k x^k+1|
|x^k+1 x^k+2|
s'annule (parceque c'est une suite récurrente linéaire d'ordre 1)
et donc ça nous dit que x^(k+2)*x^k = (x^(k+1))², c'est à dire x^(k+2) = x^(k+1)² / x^k (lol l'inutilité de la chose)

C'est pareil avec 2 nombres x et y, 5 termes consécutifs, et un déterminant de taille 3.
Si f(n) = x^n + y^n on obtient en développant le déterminant et en disant qu'il est nul, l'équation
f(n+4) = (f(n+2)^3 + f(n)f(n+3)² - 2f(n+1)f(n+2)f(n+3)) / (f(n)f(n+2)-f(n+1)²)

[Amoureux-des-Maths]

Ah, je connaissais pas ces propriétés sur les suites récurrentes linéaires, c'est bon à savoir, donc avec x y et z c'est une suite récurrente d'ordre 3.

Donc en général la propriété c'est si on a un polynôme avec n variables, c'est une suite récurrente d'ordre n donc le déterminant de taille 2n s'annule, en ayant la 2n+1e valeur en bas à droite.

C'était pas ca que je voulais savoir au départ mais ca a l'air assez important quand même, et il ne semble pas existe de formule générale de toute manière.

Edit : je comprends donc ton premier message! Merci