Exercise.. Polynôme orthogonaux.. Stp

[Hidan17]

Polynômes orthogonaux 201. Soit E la partie de ([0, 1], R) constituée par les fonctions x telles que integrate x ^ 2 * (t) dt from 0 to 1 / t < ∞ a)
1) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de ([0, 1], R) et que toute fonction x qui a une dérivée finie en 0 et telle que x(0) = 0 appartient à E. b) 2)Pour tous x, y in E. on pose : (x|y)= integrate x(t) * y(t) dt from 0 to 1 |t. Vérifier que cette intégrale a un sens et que c'est un produit scalaire sur E. e) Le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt appliqué à la suite (r) (où n >= 1 ) fournit les polynômes P_{1} ,...,P s , Calculer explicite- ment P_{1} P., P_{a} d) Montrer que dans l'espace préhilbertien E, l'ensemble des fonctions x qui sont nulles dans un intervalle de la forme [0, a] (où a ne0) est partout dense. En déduire que la famille orthogonale ( P - ) est totale dans E.

[GaBuZoMeu]

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