Exercie polynomes ECS1

[bibilolo]

Bonjour, j'avais un dm de 4 exos à faire dans les vacances qui comporte notamment cet exercice que je n'arrive vraiment pas à faire et qui porte sur les polynômes...
J'aimerais bien de l'aide, sachant que les maths sont malheureusement on gros point faible...
On se propose d'étudier la suite de fonctions Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x) relation 1
avec T0(x)=1 et T1(x)=x

1a Calculer Tn(x) pour x inférieur ou égal à 4
J'ai beau être mauvais j'espère avoir bon au moins ici! Je trouve T2(x)=2X^2-1, T3(x)=4X^3-3x et T4(x)=8X4-8X^2+1

b Etablir que pour tout entier naturel n, Tn est un polynomes à coefficients entiers de degré n tel que pour tout réel x, Tn(-x)=(-1)^n*Tn(x) que peut on déduire de cette inégalité?
Par récurrence et j'en déduit Tn de même parité que n

c Déterminer les valeurs de Tn(1) et Tn(-1)
Par récurrence j'ai établis que Tn(1)=1 d'ou avec la relation précédente, Tn(-1)=(-1)^n

d On note Tn sous la forme Tn(x)=lambda(n)*[x^n+bnx^(n-2)+Cnx^(n-4)+...]
Calculer lambda n, coefficient dominant du polynome Tn.
J'ai observé que sur ce que j'avais calculé en 1, lambda(n)=2^(n-1)
J'ai fait une récurrence (est-ce bon?) pour le prouver.
Ensuite, à l'aide de la relation 1 exprimer bn+1 en fonction de bn et calculer bn en fonction de n pour n supérieur ou égal à 2
Et la les ennuis commencent, j'ai rien réussi à partir de cette question (trouver bn)

2a On considère la fonction phi définie pour u appartenant à ]1;+infini[ par phi(u)=1/2(u+1/u)
Etablir qu'elle réalise une bijection de ]1;+infini[ dans ]1;+infini[ puis montrer que Tn(phi(u))=1/2(u^n+1/u^n)
Je ne voie ni pour la bijection ni pour l'expression...

b En déduire pour x>1 que Tn(x)1 et montrer par récurrence l'inégalité Tn(x)<2^(n-1)*x^n
Je bloque dans le calcul pouvez vous m'indiquer quelques étapes?

3a a l'aide de la relation 1 établir pour tout nombre réel théta (je l'écris ici O) l'égalité:Tn(cos(O))=cosnO relation 2
Je ne voie pas non plus comment?

b En déduire le maximum M(Tn). Quel rapport?

c Pour tout entier k appartenant à [l 0,n l] on pose ak=cos(((n-k)pi)/(n))
ak appartient à ]-1,1[
Calculer Tn(ak) puis prouver que si x désigne un nombre réel, l'égalité Valeur absolue de (Tn(x))=M(Tn) a lieu ssi x appartient à l'ensemble {a0,a1,...,an}

4a En dérivant la relation 2 exprimer Tn'(cos O) en fonction de O
En déduire la valeur de Tn'(ak) pour k appartient à [1,n-1], n supérieur ou égal à 2 A l'aide d'un passage à la limite déterminer enfin Tn'(1) et Tn'(-1)
Etablir ensuite en dérivant deux fois la relation 2 que pour x appartenant à [-1,1], (x²-1)Tn''(x)+xTn'(x)-n²Tn(x)=0 relation 3 Prouver qu'elle reste valable pour tout réel x

Un pavé cette question ,impossible pour l'heure pour moi, une lumière pour m'éclairer?

b Soit j appartient à [0,n-1], en dérivant j fois la relation 3 établir que Tn^(j+1)=((n²-j²)/(2j+1))*Tn^(j)(relation 1)

Pareil qu'au dessus...

c En déduire en fonction de n le nombre réel mun tel que Tn^(j)(relation1)=mun*2^(j-1)*(((j-1)!(n+j-1)!)/((2j-1)!(n-j)!))

La fin me fait vraiment peur....

[Sa Majesté]

Salut

Il suffit d'écrire la relation 1




et en identifiant les coefficients des termes en

[bibilolo]

ok j'ai compris mais pour calculer bn je fait comment pûisque j'ai en fonction de bn-1?
et sinon pour le reste de l'exo tu as des pistes?

[Sa Majesté]

Ben tu as
et tu sommes

[Sa Majesté]

Pour la bijection il suffit de montrer que phi est strictement croissante sur ]1,+oo[ avec limite en 1 = 1 et limite en +oo = +oo
Pour le reste c'est une récurrence