Un prêt de 300 000 est consenti à un taux t%.
Au bout de 4 mois, l'emprunteur rembourse à son prêteur 120 000 de capital, somme que le prêteur replace immédiatement à 9%.
Au bout d'un an (à partir de l'opération initiale) le prêteur se voit verser l'ensemble du capital et des intérêts et constate que son capital aura été finalement placé à un taux moyen égal à (t-0.8%).
- Calculer t.
- De quelle somme totale le prêteur dispose-t-il au bout de un an?
J'espère que certains pourront m'aider. Merci[/quote]
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Ce problème sera résolu suivant la méthode des INTERETS COMPOSES et la méthode du TAUX EQUIVALENT.
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Les données initiales demandent à être précisées.
1) ANALYSE DES ELEMENTS FINANCIERS DU PROBLEME DANS L'HYPOTESE
DES METHODES DES INTERETS COMPOSES ET DU TAUX EQUIVALENT
Le problème s'analyse de la façon suivante :
On a un capital de départ de 300 000,00 euros.
1°) Une première partie de ce capital, à savoir 120 000,00 euros est placé pendant 4 mois
à un taux équivalent de (t %) l'an, et, ensuite le capital acquis est placé pendant
8 mois au taux annuel équivalent de 9,00 % l'an.
2°) Une seconde partie de ce capital, à savoir 180 000,00 euros est placé pendant 1 an
à un taux équivalent de (t %) l'an.
Au bout de un an (à partir de l'opération initiale), le prêteur se voit verser l'ensemble du capital et des intérêts
et constate que son capital aura été finalement placé à un taux moyen de (t-0,8) %.
2) CONVENTIONS D'ECRITURES ET D'ABREVIATIONS DANS LE CAS DE RESOLUTION PAR LES METHODES DES INTERETS COMPOSES ET DU TAUX EQUIVALENT
a) taux d'intérêt annuel : t %
Le coefficient annuel à appliquer est de [ 1 + ( t/100) ] ,
Et, le coefficient mensuel sera : [ 1 + ( t/100) ]¹;)¹² ,
b) taux d'intérêt annuel : 9,00 %
Le coefficient annuel à appliquer est de 1,09 par an.
Et, le coefficient mensuel sera : 1,09¹;)¹² soit 1,007207323 pour un taux mensuel de 0,720732332 pour 1.
c) taux d'intérêt annuel : (t-0,8 ) %
Le coefficient annuel à appliquer est de [ 1 + ( t-0,8/100) ] ,
Et, le coefficient mensuel sera : [ 1 + ( t-0,8/100) ]¹;)¹²
3) RESOLUTION DU PROBLEME SUIVANT LES METHODES DES INTERETS COMPOSES ET DU TAUX EQUIVALENT
A la suite de ces remarques préliminaires, on a :
a) Une première partie de ce capital, à savoir 120 000,00 euros est placé pendant 4 mois
à un taux équivalent de (t %) l'an soit un coefficient mensuel [ 1 + ( t/100) ]¹;)¹² , et, ensuite le capital acquis est placé pendant
8 mois au taux annuel équivalent de 9,00 soit 0,720732332 % par mois et un coefficient de 1,007207323
La première partie de ce capital aura une valeur acquise de
[ 120 000,0000 * [ 1 + ( t/100) ];);)¹² * 1,007207323
] [ 120 000,0000 * 1,059134217 * [ 1 + ( t/100) ];);)¹² ]
127 096,1060 * [ 1 + ( t/100) ];);)¹²
b) Une seconde partie de ce capital, à savoir 180 000,00 euros est placé pendant 1 an
à un taux équivalent de (t %) l'an.
La seconde partie de ce capital aura une valeur acquise de
180 000,00 * [ 1 + ( t/100) ] ,
c) et, au bout de un an (à partir de l'opération initiale), le prêteur de voit verser l'ensemble du capital et des intérêts
et constate que son capital aura été finalement placé à un taux moyen de (t-0,8) %, soit :
300 000,00 * [ 1 + ( t-0,8/100) ] ,
d) En définitive, on est en présence de l'équation suivante :
{ 127 096,1060 * [ 1 + ( t/100) ];);)¹² } + { 180 000,00 * [ 1 + ( t/100) ] } = 300 000,00 * [ 1 + ( t-0,8/100) ]
A) PREMIERE APPROCHE DE DETERMINATION DU TAUX
avec t = 11,0000000 % soit 0,1100000 pour 1
(1+t/100) = 1,1100000
(1+t/100)¹;)¹² 1,008734594
(1+t/100););)¹² 1,035398805
(t -0,8) = 10,2000000 % soit 0,1020000 pour 1
[1 + (t-0,8)/100] = 1,1020000
On a :
{ 127 096,1060 * [ 1 + ( t/100) ];);)¹² } + { 180 000,00 * [ 1 + ( t/100) ] } = 300 000,00 * [ 1 + ( t-0,8/100) ] ,
[ 127 096,1060 * 1,035398805 ] + [ 180 000,00 * 1,1100000 ] = 300 000,00 * 1,1020000
131 595,1563 + 199 800,00000 = 330 600,000
331 395,15631 différend de 330 600,000
On constate une différence le taux recherché est plus élevé.
B) DEUXIEME APPROCHE DE DETERMINATION DU TAUX
avec t = 12,0000000 % soit 0,1200000 pour 1
(1+t/100) = 1,1200000
(1+t/100)¹;)¹² 1,009488793
(1+t/100););)¹² 1,03849882
(t -0,8) = 11,2000000 % soit 0,1120000 pour 1
[1 + (t-0,8)/100] = 1,1120000
On a :
{ 127 096,1060 * [ 1 + ( t/100) ];);)¹² } + { 180 000,00 * [ 1 + ( t/100) ] } = 300 000,00 * [ 1 + ( t-0,8/100) ] ,
[ 127 096,1060 * 1,03849882 ] + [ 180 000,00 * 1,1200000 ] = 300 000,00 * 1,1120000
131 989,1561 + 201 600,00000 = 333 600,000
333 589,15613 différend de 333 600,000
On constate une différence le taux recherché est plus faible.
C) "Nième" APPROCHE DE DETERMINATION DU TAUX
avec t = 11,9865600 % soit 0,1198656 pour 1
(1+t/100) = 1,1198656
(1+t/100)¹;)¹² 1,009478697
(1+t/100););)¹² 1,038457279
(t -0,8) = 11,1865600 % soit 0,1118656 pour 1
[1 + (t-0,8)/100] = 1,1118656
On a :
{ 127 096,1060 * [ 1 + ( t/100) ];);)¹² } + { 180 000,00 * [ 1 + ( t/100) ] } = 300 000,00 * [ 1 + ( t-0,8/100) ] ,
[ 127 096,1060 * 1,038457279 ] + [ 180 000,00 * 1,1198656 ] = 300 000,00 * 1,1118656
131 983,8764 + 201 575,80800 = 333 559,680
333 559,68436 proche de 333 559,680
On constate une différence "faible" de 0,00436
4) SOLUTION DU PROBLEME SUIVANT LES METHODES DES INTERETS COMPOSES ET DU TAUX EQUIVALENT
Le taux est de 11,98656 % l'an.
Le montant du capital acquis est de 333 559,68 euros.
5) VERIFICATION DU PROBLEME SUIVANT LES METHODES DES INTERETS COMPOSES ET DU TAUX EQUIVALENT
a) Une première partie de ce capital, à savoir 120 000,00 euros est placé pendant 4 mois
à un taux équivalent de 11,98656 % soit par mois 0,947869749 et, ensuite le capital acquis est placé pendant
8 mois au taux annuel équivalent de 9,00 soit 0,720732332 % par mois
On a ;
120 000,00 * 1,009478697
* 1,007207323 ;) = 120 000,00 * 1,038457279 * 1,059134217 =
131 983,88
b) Une seconde partie de ce capital, à savoir 180 000,00 euros est placé pendant 1 an
à un taux équivalent de 11,98656 % l'an.
On a :
180 000,00 * 1,1198656 =
201 575,81
c) et, au bout de un an (à partir de l'opération initiale), le prêteur de voit verser l'ensemble du capital et des intérêts
et constate que son capital aura été finalement placé à un taux moyen de 11,187 % l'an
300 000,00 * 1,1118656 =
333 559,68
d) en en conclusion le total de a) + b) doit être égal à c)
On a :
131 983,88 + 201 575,81 = 333 559,68
est bien égal au capital acquis trouvé au c) ci-dessus, soit 333 559,68 euros.
BONNE LECTURE A TOUS