Exercices sur les intérêts.

[Infamous]

Bonjour à tous. Voila j'ai 3 exercices sur les intérêts a faire mais après avoir longuement travaillé dessus je n'ai pas trouvé la solution. Bien entendu je n'attend qu'on me donne la solution car je serai dans une situation délicate lors de mon contrôle continu en fin de semaine je veux juste des indications sur le raisonnement à suivre.

Le premier
Un individu emprunte 6000€ au taux d'intérêts simple annuel de 6%. Cette somme est remboursée en 2 versements égaux, le premier échéant le 8ème mois et le second le 12ème mois. À combien s'élève chaque versement?

Le deuxième
Un capital de 80000€ est placé à intérêt simple à un taux t%. Au bout de 2 ans, le prêteur retire capital et intérêt et replace le tout à intérêt simple, à un taux (t+2)%.
Trois ans après ce nouveau placement, le prêteur dispose, capital et intérêts réunis de 130530 quelle est le taux de placement?
D'après le professeur la clef est de retomber sur une équation du second degré (ax²+bx+c)

Le troisième
Une personne obtient un prêt de x €, remboursable en 4 versements trimestriels, le premier versement ayant lieu dans 3 mois.
Chaque versement se compose

du quart de la somme prêtée

de l'intérêt simple calculé pendant le trimestre correspondant sur la somme qui restait due au début du trimestre.

Le total des versements effectués est égal à 86000€. Chacun des versements est inférieur de 600€ au précédent. Calculer le montant du prêt et le taux d'intérêt.
La clef ici est une équation à 2 inconnues sue je n'arrive pas à trouver.

Le dernier
Un prêt de 300 000€ est consenti à un taux t%.
Au bout de 4 mois, l'emprunteur rembourse à son prêteur 120 000€ de capital, somme que le prêteur replace immédiatement à 9%.
Au bout d'un an (à partir de l'opération initiale) le prêteur se voit verser l'ensemble du capital et des intérêts et constate que son capital aura été finalement placé à un taux moyen égal à (t-0.8%).

Calculer t.

Le prefesseur nous à indiqué que la réponse est 9 mais quelle est la démarche?

De quelle somme totale le prêteur dispose-t-il au bout de un an?

J'espère que certains pourront m'aider. Merci

[arttle]

Il s'agit visiblement de mise en équation des données d'un problème.

La démarche que je te conseille, vu que ce sont des exercices qui parle de choses qui évoluent dans le temps c'est de voir les choses sous cet angle.
En gros, il faut te demander comment tu peux interpréter les information de l'exercice au départ, puis une fois que c'est fait, te demander ce qui se passe au prochain 'découpage' temporel, et ainsi de suite.

Par exemple, pour le premier exercice, un individu a une créance de 6000€ au départ.
Au bout de 8 mois, cette créance a augmentée (de combien? à toi de le trouver) et il en rembourse une partie (de combien? à toi de le trouver). Ensuite 4 mois plus tard (12 mois - 8 mois) le reste de sa créance a encore augmentée, et il la règle en totalité.

Pour tous les autres la même démarche peut être applicable.

J'espère que cela va pouvoir t'aider.

Bon courage!!!

[mathelot]

Le premier
Un individu emprunte 6000€ au taux d'intérêts simple annuel de 6%. Cette somme est remboursée en 2 versements égaux, le premier échéant le 8ème mois et le second le 12ème mois. À combien s'élève chaque versement?

Les intérets sont simples. Il n'y a pas de composition d'intérets.
Le 8ème mois, on rembourse la moitié du capital emprunté.
Cette moitié de capital génére 8 mois d'intérets débiteurs.
L'autre moitié du capital génére 12 mois d'intérets débiteurs.

Le deuxième
Un capital de 80000€ est placé à intérêt simple à un taux t%. Au bout de 2 ans, le prêteur retire capital et intérêt et replace le tout à intérêt simple, à un taux (t+2)%.
Trois ans après ce nouveau placement, le prêteur dispose, capital et intérêts réunis de 130530 quelle est le taux de placement?

Le capital , prétés ou placé à interets simples travaille prorata temporis.
On ne réincorpore pas les intérets au capital pour calculer
les intérets sur une nouvelle période.


voila quelques formules
capital K prêté ou emprunté à 8% l'an en intérets simple:
sur deux ans rapporte ou coûte % d'intéret.

capital K prêté ou emprunté à 8% l'an en intérets composé:
sur deux ans rapporte ou coûte % d'intéret.

principe:
les entrées et sorties de capitaux sont gérés,notés dans un échéancier.
ces flux déterminent des périodes (intervalles calendaires)
Quand les intérets sont composés et seulement dans ce cas, ils sont réincorporés au capital (pret ou emprunt) en fin de période.


sinon,les intérets simples sont calculés prorata temporis,ie, par une règle de trois , une proportion ou une fraction, comme tu voudras.

par exemple 8 mois à 10% d'intérets simples donne un taux de %

[Infamous]

Pour le premier exercice je sais que au bout de 8 mois on obtient 6000*1.06*(8/12)=4240 Mais ensuite comment trouver la somme qui est payée car on sait qu'elle rembourse la 1/2 de la somme due (avec les intérêts?). De plus, si les intérêts sont comptés, quelles est le capital sur lequel on va compter les 4/12èmes restants?

Pour le second exercice je suis tombé sur ca:
C1=80000+80000*t*2
C2=C1*(t+2)
enfin on a 130530=80000+(80000*t*2)*(t+2)
dc 130530=80000+160000t*(t+2)
Je ne sais pas si je poursuis la bonne voit étant donné que je suis censé tombé sur une équation du 2nd degré

[arttle]

Bon reprenons, tu es pas loin à mon goût.

Au départ il y a une créance de 6000€
Au bout de 8 mois :
- On ajoute les intérêts : 6000*0,06*(8/12)=240€
- On retranche le premier versement d'un montant que l'on ne connais pas mais que l'on peut appeler x.
On a donc au bout de 8 mois et après le versement une créance de : 6000+240-x qui vaut 6240-x (€)
Au bout de 12 mois :
- On rajoute les intérêts : (6240-x)*0,06*(4/12) qui vaut 124,8-0,02*x (€)
- On retranche le second versement qui est égal au premier donc x.
On obtient donc Après le deuxième versement :
6240-x+124,8-0,02*x-x qui vaut 6364,8 - 1,98*x (€)
mais on sait par hypothèse que cette somme est égale à zéro puisque la créance est complètement payée.
On obtient donc une équation
6364,8 - 1,98*x = 0 que l'on résout pour obtenir le montant de chaque versement qui répond à la question.

Je t'ai bien détaillé pour voir se qui se passe concrètement dans la démonstration.
La difficulté réside à 'travailler' avec le x. Si tu ne connais pas une donnée d'un problème, tu peux sans aucun problème la nommée avec une lettre en te disant que tu pourras peut-être la calculer plus tard.

Pour le second exercice tu obtiens, avec ton raisonnement, une équation du type a = b + c*x*(x+2) où a b et c sont des nombres. On voit bien qu'en développant tu vas tomber sur du x² c'est donc le bon cheminement que tu as mis en exergue. Il y a encore quelques imperfections mais en gros c'est cela. Je te conseille de procéder comme je te l'ai montré pour l'exercice 1 pour être sûr de bien faire intervenir les intérêts de la bonne manière. D'abord calculer les intérêts et après les ajouter.

J'espère que j'ai pu t'aider un peu.
Si j'ai trop développer l'exercice 1, excuse moi. Dans ce cas là, pour t'entraîner, tu peux changer les données, par exemple 8000€ et 7% d'intérêts et recommencer le problème; ce que je te conseille d'ailleurs.

Bon courage!!!

[mathelot]

Au départ il y a une créance de 6000€
Au bout de 8 mois :
- On ajoute les intérêts : 6000*0,06*(8/12)=240€

bah non , ce sont des intérets simples. Pourquoi composer ?

[arttle]

Hum... effectivement j'ai du composer un peu désolé.

J'avais prévu une nouvelle longue explication mais je trouve que celle de mathelot est précise et concise. De plus, je ne voudrais pas faire de nouvelles boulettes.
Excuse moi pour mon intervention erronée.

Je continue néanmoins à croire que de penser étape de temps par étape de temps est une bonne façon de voir comment les choses évoluent pour ce genre d'exercice, pour mettre en exergue comment ça se passe réellement dans le calcul.

Et n'oublie pas, l'erreur est la clef du savoir. Celui qui ne fait jamais d'erreur est un imbécile. (Je le dis aussi pour moi, ça remonte l'estime de soi, surtout quand je fais une ânerie)

[wserdx]

Il y a une petite erreur de raisonnement chez mathelot et une de calcul
chez arttle concernant le premier exercice.
Les intérêts sont peut-être simples mais ils sont dus!
(enfin c'est que je crois comprendre de l'énoncé...)

Soient
et la part de capital remboursé à chaque versement
et et les intérêts correspondants

on a
(capital initial)

(égalité de remboursements)

(intérêts de la première part)
(intérêts de la deuxième part)

En éliminant et , on aboutit à un système à
deux équations et
...

[mathelot]

bonjour,

les formules de wserdx conduisent à un versement de 3149,72

j'en propose de légèrement différentes



qui conduit à un versement de 3150,89
dans cette formule les intérets de la première période sont calculés
sur l'intégralité du capital.

s'il n'y a pas de défaut de paiement, les deux formules
donnent quasiment les mêmes montants de versement.

Mais si le client ne paye plus après la la première période,
le capital restant dû serait de 3028,57 avec la 1ère formule et de 2910,89
dans la seconde formule.

[wserdx]

On peut proposer toutes les formules qu'on veut, mais la tienne ne correspond pas à la définition des intérêts simples.
Pour des intérêts simples, ils sont calculés au pro rata temporis de la part de capital remboursé.
Si tu as une autre définition, on pourra peut-être la soumettre au professeur
d'Infamous.
Peut-être a-t-elle changé depuis que j'ai quitté l'école...
:we:

[Infamous]

J'ai eu la correction des exercices. Merci à tous pour votre aide. Actuellement j'ai encore un peu de travail mais je mettrais la correction dès que j'ai le temps, sans fautes(sûrement demain soir).
Encore merci de votre aide. :we:

[mathelot]

je mettrais la correction dès que j'ai le temps, sans fautes(sûrement demain soir).

oui, tu peux indiquer comment calculer :doh:

[SAGE63]

Bonjour

Une proposition de solution

Le problème demande d'appliquer la méthode des INTERETS SIMPLES.

Pour résoudre ce problème nous avons à choisir entre les DEUX POSTULATS suivants.

PREMIER POSTULAT

Quand une personne emprunte "au départ", à "l'époque zéro" un capital,
elle devra rembourser, plus tard, à "l'époque n" le montant du capital prêté plus les intérêts calculés
sur le dit capital de départ.

Nous appellerons ce postulat la méthode du "BANQUIER SYMPA"

DEUXIEME POSTULAT

Il s'agit d'une méthode que l'on peut désignée sous le nom de "BANQUIER pas SYMPA" et qui se
présente de la façon suivante.

Quand une personne emprunte "au départ", à "l'époque zéro" un capital,
elle devra rembourser, plus tard, à "l'époque n" le montant du capital prêté plus les intérêts calculés
sur le capital remboursé à la fin, à savoir le capital de départ augmenté des intérêts.

La devise du "BANQUIER pas SYMPA" est la suivante : "VOUS ACCEPTEZ NOS CONDITIONS OU VOUS PASSEZ VOTRE CHEMIN".


HYPOTHESE 1 : METHODE DU "BANQUIER SYMPA"

1) ANALYSE DES ELEMENTS FINANCIERS

Nous avons les éléments financiers suivants :

a) à la signature du contrat de prêt, encore appelée époque "0" on est en présence d'un emprunt
de valeur nominale, encore appelé valeur actuelle d'un montant de 6 000,00 euros,
qui sera remboursé par

b) un premier remboursement de "x" euros effectué 8 mois après la signature du contrat d'emprunt qui comprendra
la partie du capital remboursé plus les intérêts de la dite partie remboursée, et le tout s'élevant à "x" euros.

b) un second remboursement de "x" euros effectué 12 mois après la signature du contrat d'emprunt qui comprendra
le solde du capital remboursé plus les intérêts sur le la solde, et le tout s'élevant à "x" euros.

2) MISE EN EQUATION DU PROBLEME

a) A l'époque "0" la valeur actuelle de l'emprunt est de 6 000,00 euros

b) A l'époque "0" la somme de la valeur actuelle du premier versement et de la valeur actuelle du
second versement est égale à 6 000,00 euros.

* si l'on désigne par "V(1)" la valeur actuelle du premier versement, on aura
* la valeur actuelle du second versement égale à "6000 - V(1)"

c) Au taux de 6 % l'an, on sait que la valeur acquise du premier versement effectué au bout de 8 mois est de "x"

On sait que la valeur acquise du premier versement "x" est égale à :
Valeur d'origine du premier versement + les intérêts = x
soit
V(1) + [ V(1) * (6/100) * (8/12) ] = x
V(1) + [ V(1) * 48 /1200 ] = x
V(1) + [ V(1)/ 25 ] = x
26 V(1) / 25 = x
26 V(1) = 25 x
V(1) = 25 x/ 26

d) Au taux de 6 % l'an, on sait que la valeur acquise du second versement éffectué au bout de 12 mois est de "x"

On sait que la valeur acquise du second versement "x" est égale à :
Valeur d'origine du second versement + les intérêts = x
soit
V(2) + [ V(2) * (6/100) * (12/12) ] = x
V(2) + [ V(2) * 72 /1200 ] = x
V(2) + [ 3V(2)/ 50 ] = x
53 V(2) / 50 = x
53 V(2) = 50 x
V(2) = 50 x /53

e) En définitive on a l'équation :

6 000,00 = V(1) + V(2)
6 000,00 = 25 x/ 26 + 50 x /53

6 000,00 = ( 0,961538462 x) = ( 0,943396226 x)
6 000,00 = 1,904934688 x
6 000,00 / 1,904934688 = x
3 149,7143 = x

Ou, encore, par une autre méthode

6 000,00 = 25 x/ 26 + 50 x /53

Réduisons au même dénominateur :

(6000 * 26 * 53/ 26 /53) = (25 x * 53 /26/53) + (50 x*26 /53/26)

Supprimons les dénominateurs

(6000 * 26 * 53) = (25 x * 53 ) + (50 x*26 )

8 268 000,00 = 1325 x + 1300 x
8 268 000,00 = 2625 x
8 268 000,00 / 2625 = x
3 149,7143 = x

Le montant de chaque remboursement est de 3 149,71 euros.

VERIFICATION

a) la valeur actuelle du premier versement est de

V(1) + [ V(1) * (6/100) * (8/12) ] = 3 149,7143
V(1) + [ 48 V(1) / 1200 ] = 3 149,7143
1248 V(1) / 1200 = 3149,7143
1248 V(1) = 3149,7143 * 1200
1248 V(1) = 3779657,16
V(1) = 3779657,16 / 1248
V(1) = 3028,571442

B) la valeur actuelle du second versement est de

V(2) + [ V(2) * (6/100) * (12/12) ] = 3 149,7143
V(2) + [ 72 V(2) / 1200 ] = 3 149,7143
1272 V(2) / 1200 = 3149,7143
1272 V(2) = 3149,7143 * 1200
1272 V(2) = 3779657,16
V(2) = 3779657,16 / 1272
V(2) = 2971,428585

c) vérification : Montant de l'emprunt à la signature du contrat

3028,571442 + 2971,428585 = 6000,000027




HYPOTHESE 2 : METHODE DU "BANQUIER pas SYMPA"




1) VALEUR ACTUELLE DU PREMIER VERSEMENT "x"

La lettre "H" désigne la valeur actuelle pour éviter une confusion avec la valeur actuelle "V"
de l'hypothèse 1.

Le premier versement d'une valeur de "x" est payable dans 8 mois.
La valeur actuelle calculée au taux de 6,00 % l'an est de

x - [ x * (6 /100) * (8/12) ] = H(1)
x - ( 48 x / 1200) = H(1)
x - ( x / 25) = H(1)
24 x / 25 = H(1)

2) VALEUR ACTUELLE DU DEUXIEME VERSEMENT "x"

Le deuxième versement d'une valeur de "x" est payable dans 12 mois.
La valeur actuelle calculée au taux de 6,00 % l'an est de

x - [ x * (6 /100) * (12/12) ] = H(2)
x - ( 72x / 1200) = H(2)
x - (3 x / 50) = H(2)
47 x / 50 = H(2)

3) EQUATION EQUIVALENCE des valeurs actuelles "H"

A la date de conclusion de l'emprunt on a l'équivalence suivante :

6 000,00 = (H1) + H(2)
6 000,00 = ( 24 x /25) + (47x/50)

Réduisons au même dénominateur, à savoir 50

6000 * 50 /50 = (24x*2/50)+ (47x/50)
Supprimons les dénominateurs 50 car différent de zéro, on a

300000 = 48 x + 47 x
300000 = 95 x
300000 / 95 = 3157,894737

Le montant de chaque versement sera de 3 157,89 euros.

VERIFICATION

a) valeur actuelle du premier versement payé 8 mois après la signature du contrat d'emprunt

Montant versé = Valeur actuelle - intérêt sur le montant versé
3 157,89 - [ 3 157,89 * (6/100) * (8/12)
3 157,89 - 126,32 = 3 031,58

b) valeur actuelle du second versement payé 12 mois après la signature du contrat d'emprunt

Montant verse - intérêt sur le montant versé = Valeur actuelle
3 157,89 - [ 3 157,89 * (6/100) * (12/12)
3 157,89 - 189,47 = 2 968,42

c) total des valeurs actuelles des deux versements effectués après la signature du contrat d'emprunt

3 031,58 + 2 968,42 = 6 000,00
égal au montant emprunté.




CONCLUSION GENERALE : QUELLE HYPOTHESE RETENIR



1°) EN CE QUI CONCERNE LES EMPRUNTS

En France, en matière d'emprunts, c'est la méthode n° 1 qui est retenue.



2°) EN CE QUI CONCERNE UN AUTRE MODE DE FINANCEMENT : L'ESCOMPTE

En France, en matière d'escompte d'effets de commerce c'est la méthode n° 2 qui est retenue.

A suivre la solution du problème n°2.

A BIENTÔT

[SAGE63]

Le deuxième
Un capital de 80000€ est placé à intérêt simple à un taux t%. Au bout de 2 ans, le prêteur retire capital et intérêt et replace le tout à intérêt simple, à un taux (t+2)%.
Trois ans après ce nouveau placement, le prêteur dispose, capital et intérêts réunis de 130530 quelle est le taux de placement?
D'après le professeur la clef est de retomber sur une équation du second degré (ax²+bx+c)

Bonjour


Ce problème demande d'appliquer la méthode des INTERETS SIMPLES.

1) ANALYSE DES ELEMENTS FINANCIERS

Nous avons les éléments financiers suivants :

a) le capital de 80 000,00 euros est placé pendant 2 ans au taux de t% l'an.
On a :
[ 80 000,00 + ( 80 000,00 * 2 * t /100) ]

b) le capital plus les intérêts déterminés au a) est placé pendant 3 ans taux de (t+2) % l'an.
On a :
[ 80 000,00 + ( 80 000,00 * 2 * t /100) ] * [ 1 + { 3 (t+2) / 100 } ]

c) à la fin du placement on obtient un capital plus intérêts de 130 530,00 euros.
On a :

[ 80 000,00 + ( 80 000,00 * 2 * t /100) ] * [ 1 + { 3 (t+2) / 100 } ] = 130 530,00

2) MISE EN EQUATION DU PROBLEME

On a :

[ 80 000,00 + ( 80 000,00 * 2 * t /100) ] * [ 1 + { 3 (t+2) / 100 } ] = 130 530,00
[ 80 000,00 + 1 600,00 t ] * [ 1 + { (3t/100) + 0,06 } ] = 130 530,00
[ 80 000,00 + 1 600,00 t ] * [ 10,6 + (3t/100) ] = 130 530,00
84 800,00 + 1 696,00 t + 2 400,00 t + 48,00 t² = 130 530,00
84 800,00 + 4 096,00 t + 48,00 t² = 130 530,00

On a :

48 t² + 4 096,00 t -45 730,00 = 0

RESOLUTION EQUATION DU SECOND DEGRE
On a :
a : 48
b : 4 096,00
c : -45 730,00
Calculs automatiques
b² : 16777216
4 ac : -8780160

b² - 4ac : 25557376
b²-4ac : 5 055,43
Première racine
-b : -4096
+ b²-4ac : 5055,430348
différence 959,4303477
divisé par 2 a : 96
RESULTAT 9,994066121
Deuxième racine
-b : -4096
- b²-4ac : -5055,430348
différence -9151,430348
divisé par 2 a : 96
RESULTAT -95,32739945

Le taux du placement de 2 ans est de 9,994066121 % l'an
Le taux du placement de 3 ans est de 11,99406612 % l'an

VERIFICATION

Le capital de départ est de 80 000,00 euros

Les intérêts produits pendant deux ans au taux de 9,994066121 % l'an sont de :
80 000,00 * 9,994066121 * 2/100 = 15 990,51 euros

Le capital acquis au bout de deux ans s'élève à :
80 000,00 + 15 990,51 = 95 990,51 euros

Les intérêts produits pendant trois ans au taux de 11,99406612 % l'an sont de :
95 990,51 * 11,99406612 * 3/100 = 34 539,49 euros

Le capital acquis à la fin des placements s'élève à :
95 990,51 + 34 539,49 = 130 530,00 euros


A suivre la solution du problème n° 3

A BIENTÔT

[SAGE63]

Le troisième
Une personne obtient un prêt de x €, remboursable en 4 versements trimestriels, le premier versement ayant lieu dans 3 mois.
Chaque versement se compose

du quart de la somme prêtée

de l'intérêt simple calculé pendant le trimestre correspondant sur la somme qui restait due au début du trimestre.

Le total des versements effectués est égal à 86000€. Chacun des versements est inférieur de 600€ au précédent. Calculer le montant du prêt et le taux d'intérêt.
La clef ici est une équation à 2 inconnues sue je n'arrive pas à trouver.

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Bonjour

On demande d'appliquer la méthode des INTERETS SIMPLES pour résoudre de problème.

1) ANALYSE DES ELEMENTS FINANCIERS

Nous avons les éléments financiers suivants :

a) il y a 4 versements qui sont en progression arithmétique de raison -600,00 euros

b) le total des 4 versements trimestriels effectués s'élèvent à 86 000,00 euros

2) MISE EN EQUATION DU PROBLEME

A) dans un premier stade de calcul nous allons déterminer la valeur de chaque versement

On :

1er versement = x
2ème versement = x -600,00
3eme versement = x -600,00 -600,00 = x -1 200,00
4ème versement = x -1 200,00 -600,00 = x -1 800,00

et le total des 4 versements est de 86 000,00 euros

On a l'équation
(x) + ( x -600,00 ) + (x -1 200,00 ) + (x -1 800,00 ) = -

4 x -3 600,00 = 86 000,00
4 x = 86 000,00 + 3 600,00
4 x = 89 600,00
x = 89 600,00 / 4
x = 22 400,00

1er versement = 22 400,00
2ème versement = 21 800,00
3eme versement = 21 200,00
4ème versement = 20 600,00

Le total des quatre versements est de
22 400,00 + 21 800,00 + 21 200,00 + 20 600,00 = 86 000,00

B) on sait que chaque versement est égal au quart de la somme prêtée plus les intérêts trimestriels
sur le capital du en début de période.

Ainsi, pour le quatrième versement de 20 600,00 euros, cette somme comprend

* le remboursement du quart du capital
* plus les intérêt sur le quart de ce capital restant à rembourser en début de période

Ainsi pour le troisième versement de 21 200,00 euros, cette somme comprend

* le remboursement du quart du capital
* plus les intérêt sur la moitié de ce capital restant à rembourser en début de periode

La différence entre le montant du quatrième versement soit 20 600,00
et le montant du troisième versement soit 21 200,00 , nous donne 600,00 euros
et cette différence est égale au montant des intérêts pour une période d'un trimestre le
le montant du quart du capital.

Comme on sait que le quatrième et dernier versement d'un montant de 20 600,00 euros
représente les intérêts sur le dit capital pour un montant de 600,00 euros
le quart du capital remboursé est de 20 600,00 -600,00 = 20 000,00 euros.

Le montant du prêt est de
20 000,00 * 4 = 80 000,00 euros.

Le taux d'intérêt nous est donné par la formule

I = C * (t/100) * (n/4)
avec

I = intérêt pour un trimestre
C = capital prêté
t = taux
n = nombre de trimestre

avec ici :
I = 600,00 intérêt compris dans le dernier versement
C = 20 000,00 capital compris dans le dernier versement

soit

600,00 = 20 000,00 * (t/100) * (1/4)
600,00 * ( 4/1) = 20 000,00 * (t/100)
2 400,00 = 200,00 t
2 400,00 / 200,00 = t
12 = t

Le taux annuel est de 12,00 %.

VERIFICATION GENERALE

1°) Le premier remboursement est de 22 400,00 qui est égal

* aux intérêts sur le capital restant dû soit 80 000,00 qui sont de
80 000,00 au taux de 12,00 % pendant un trimestre soit
80 000,00 * (12/100) * (1/4) = 2 400,00

* au quart du capital remboursé soit
80 000,00 / 4 = 20 000,00

Le premier remboursement est de
20 000,00 + 2 400,00 = 22 400,00

Et il reste à rembourser
80 000,00 -20 000,00 = 60 000,00


2°) Le deuxième remboursement est de 21 800,00 qui est égal

* aux intérêts sur le capital restant dû soit 60 000,00 qui sont de
60 000,00 au taux de 12,00 % pendant un trimestre soit
60 000,00 * (12/100) * (1/4) = 1 800,00

* au quart du capital remboursé soit
80 000,00 / 4 = 20 000,00

Le deuxième remboursement est de
20 000,00 + 1 800,00 = 21 800,00

Et il reste à rembourser
60 000,00 -20 000,00 = 40 000,00


3°) Le troisième remboursement est de 21 200,00 qui est égal

* aux intérêts sur le capital restant dû soit 40 000,00 qui sont de
40 000,00 au taux de 12,00 % pendant un trimestre soit
40 000,00 * (12/100) * (1/4) = 1 200,00

* au quart du capital remboursé soit
80 000,00 / 4 = 20 000,00

Le troisième remboursement est de
20 000,00 + 1 200,00 = 21 200,00

Et il reste à rembourser
40 000,00 -20 000,00 = 20 000,00


4°) Le quatrième remboursement est de 20 600,00 qui est égal

* aux intérêts sur le capital restant dû soit 20 000,00 qui sont de
20 000,00 au taux de 12,00 % pendant un trimestre soit
20 000,00 * (12/100) * (1/4) = 600,00

* au quart du capital remboursé soit
80 000,00 / 4 = 20 000,00

Le quatrième remboursement est de
20 000,00 + 600,00 = 20 600,00

Et il reste à rembourser
20 000,00 -20 000,00 = ZERO

A suivre la résolution du quatrième et dernier exercice

A bientôt

[SAGE63]

Le dernier
Un prêt de 300 000€ est consenti à un taux t%.
Au bout de 4 mois, l'emprunteur rembourse à son prêteur 120 000€ de capital, somme que le prêteur replace immédiatement à 9%.
Au bout d'un an (à partir de l'opération initiale) le prêteur se voit verser l'ensemble du capital et des intérêts et constate que son capital aura été finalement placé à un taux moyen égal à (t-0.8%).

Calculer t.

Le prefesseur nous à indiqué que la réponse est 9 mais quelle est la démarche?

De quelle somme totale le prêteur dispose-t-il au bout de un an?

J'espère que certains pourront m'aider. Merci[/quote]

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Bonjour

REMARQUE PRELIMINAIRE :

L'énoncé de nous dit pas EXPLICITEMENT de résoudre ce problème par la méthode des INTERETS SIMPLES.

A tire de précision, il est confirme, ici, que pour résoudre ce problème il sera utilisé la méthode des intérêts simples.

1) ANALYSE DES ELEMENTS FINANCIERS

Nous avons les éléments financiers suivants :

a) le prêt de 300 000,00 euros est placé au taux (t/100) pendant 4 mois

soit : [ 300 000,00 * t/100)* (4/12) ]

b) la somme de 120 000,00 euros est placée au taux de 9 % pendant 8 mois

NB : c'est UNIQUEMENT la somme de 120 000,00 euros qui est replacée, on n'inclus pas les intérêts qui ont été
générés sur la dite somme pendant la période des 4 mois précédents (principe de la méthode des intérêts simples).

soit : [ 120 000,00 * (9/100) * (8/12) ]

c) le solde du prêt soit 180 000,00 euros reste placée au taux de (t/100) pendant 8 mois

soit : [ 180 000,00 * (t/100) * (8/12) ]

d) les intérêts sont égaux aux capital de 300 000,00 placé pendant un an au taux annuel de (t-0,8)/100

soit : 300 000,00 * (t-0,8)/100 * 12/12


2) MISE EN EQUATION DU PROBLEME

on a :

[ 300 000,00 * t/100)* (4/12) ] + [ 120 000,00 * (9/100) * (8/12) ] + [ 180 000,00 * (t/100) * (8/12) ] = 300 000,00 * (t-0,8)/100 * 12/12

[ 1 000,00 t ] + [ 7 200,00 ] + [ 1 200,00 t ] = 3 000,00 t - 2 400,00

2 200,00 t + 7 200,00 = 3 000,00 t -2 400,00
7 200,00 + 2 400,00 = 3 000,00 t -2 200,00 t
9 600,00 = 800,00 t
9 600,00 / 800,00 = t
12 = t

Le taux est de 12,0000 % l'an.



La somme acquise est égale au montant du prêt plus les intérêts pendant un an taux de (12-0,8) % soit

300 000,00 + [ 300 000,00 * (12-0,8) /100 =
300 000,00 + [ 300 000,00 * 11,2 / 100 ]
300 000,00 + 33 600,00 = 333 600,00

La somme acquise au bout de 1 an est de 333 600,00 euros.


VERIFICATION

a) le prêt de 300 000,00 euros est placé au taux de 12,00 % pendant 4 mois :
On a les intérêts suivants :
[ 300 000,00 * 12,00 * 4 / 1200 )
soit : 12 000,00 euros

b) la somme de 120 000,00 euros est placée au taux de 9 % pendant 8 mois
On a les intérêts suivants :
[ 120 000,00 * (9/100) * (8/12) ]
soit : 7 200,00 euros

c) le solde du prêt soit 180 000,00 euros reste placée au taux de 12,00 % pendant 8 mois.
On a les intérêts suivants :
soit : [ 180 000,00 * (12/100) * (8/12) ]
14 400,00 euros

d) les intérêts sont égaux aux capital de 300 000,00 placé pendant un an au taux annuel de (12 - 0,8) soit 11,20 %
On a les intérêts suivants :
[ 300 000,00 * 11,2/100 * 12/12 ]
soit : 33 600,00 euros

On a un capital acquis est de 300 000,00 + 33 600,00 = 333 600,00 euros.

e) Capital acquis par le placement

Le capital de départ placé est de 300 000,00 euros
Les intérêts perçus sont de
12 000,00 + 7 200,00 + 14 400,00 = 33 600,00 euros.

Le capital acquis à la fin du placement est de :
300 000,00 + 33 600,00 = 333 600,00 euros.

[SAGE63]

Bonjour

Les 4 problèmes ont été résolus suivant la méthode des INTERETS SIMPLES.

CONCLUSION PROVISOIRE A CES QUATRE PROBLEMES :

Il serait "intéressant" de résoudre ces mêmes 4 problèmes suivant la…………….METHODE DES INTERETS COMPOSES.

A bientôt

[SAGE63]

Le premier
Un individu emprunte 6000€ au taux d'intérêts simple annuel de 6%. Cette somme est remboursée en 2 versements égaux, le premier échéant le 8ème mois et le second le 12ème mois. À combien s'élève chaque versement?



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Ce problème sera résolu suivant la méthode des INTERETS COMPOSES et la méthode du TAUX EQUIVALENT.
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Pour résoudre ce problème nous avons à choisir entre les DEUX POSTULATS suivants.

PREMIER POSTULAT

Quand une personne emprunte "au départ", à "l'époque zéro" un capital,
elle devra rembourser, plus tard, à "l'époque n" le montant du capital prêté plus les intérêts calculés
sur le dit capital de départ.

Nous appellerons ce postulat la méthode du "BANQUIER SYMPA"

DEUXIEME POSTULAT

Il s'agit d'une méthode que l'on peut désignée sous le nom de "BANQUIER PAS SYMPA" et qui se
présente de la façon suivante.

Quand une personne emprunte "au départ", à "l'époque zéro" un capital,
elle devra rembourser, plus tard, à "l'époque n" le montant du capital prêté plus les intérêts calculés
sur le capital remboursé à la fin, à savoir le capital de départ augmenté des intérêts.

La devise du "BANQUIER PAS SYMPA" est la suivante : "VOUS ACCEPTEZ NOS CONDITIONS OU VOUS PASSEZ VOTRE CHEMIN".



HYPOTHESE 1 : METHODE DU "BANQUIER SYMPA"



1) ANALYSE DES ELEMENTS FINANCIERS

Nous avons les élèments financiers suivants :

a) à la signature du contrat de prêt, encore appelée époque "0" on est en présence d'un emprunt
de valeur nominale, encore appelé valeur actuelle d'un montant de 6 000,00 euros,
qui sera remboursé par

b) un premier remboursement de "x" euros effectué 8 mois après la signature du contrat d'emprunt qui comprendra
la partie du capital remboursé plus les intérêts de la dite partie partie remboursée, et le tout s'élevant à "x" euros.

b) un second remboursement de "x" euros effectué 12 mois après la signature du contrat d'emprunt qui comprendra
le solde du capital rembousé plus les intérêts sur le la solde, et le tout s'élevant à "x" euros.

2) MISE EN EQUATION DU PROBLEME

a) A l'époque "0" la valeur actuelle de l'emprunt est de 6 000,00 euros

b) A l'époque "0" la somme de la valeur actuelle du premier versement et de la valeur actuelle du
second versement est égale à 6 000,00 euros.

* si l'on désiqne par "V(1)" la valeur actuelle du premier versement, on aura
* la valeur actuelle du second versement égale à "6000 - V(1)"

c) Au taux de 6 % l'an, on sait que la valeur acquise du premier versement éffectué au bout de 8 mois est de "x"
Le taux annuel de 6 % l'an est équivalent au taux mensuel de 0,486755057 %.
On sait que la valeur acquise du premier versement "x" est égale à :
Valeur d'origine du premier versement + les intéréts = x
soit
V(1) * 1,0048675506 ;) = x
V(1) * 1,039610308 = x
1,039610308 V(1) = x
V(1) = x / 1,039610308



d) Au taux de 6 % l'an, on sait que la valeur acquise du second versement éffectué au bout de 12 mois est de "x"

On sait que la valeur acquise du second versement "x" est égale à :
Valeur d'origine du second versement + les intéréts = x
soit
V(2) * (1,06) = x
1,06 V(2) = x
V(2) = x / 1,06


e) En définitive on a l'équation :

6 000,00 = V(1) + V(2)
6 000,00 = ( x / 1,039610308 ) + ( x / 1,06 )

Multiplions le numérateur de chaque membre de l'équation par 1,06 ,on obtient

6 000,00 * 1,06 = (x * 1,06 / 1,039610308 ) + ( x * 1,06 / 1,06 )
6 360,00 = (x * 1,06 / 1,039610308 ) + ( x )

Multiplions le numérateur de chaque membre de l'équation par 1,039610308 ,on obtient


6 360,00 * 1,039610308 = (x * 1,06 * 1,039610308 / 1,039610308 ) + ( x * 1,039610308 )
6 611,921557 = 1,06 x + 1,039610308 x
6 611,921557 = 2,099610308 x
6 611,921557 / 2,099610308 = x
3 149,118450 = x


Le montant de chaque remboursement est de 3 149,12 euros.

VERIFICATION

a) la valeur actuelle du premier versement est de

V(1) * 1,004867551 ;) = 3 149,1184
V(1) * 1,039610308 = 3149,11845
V(1) = 3149,11845 / 1,039610308
V(1) = 3029,133538


b) la valeur actuelle du second versement est de

V(2) * 1,06 = 3 149,1184
V(2) = 3 149,1184 / 1,06
V(2) = 2 970,8665


c) vérification : Montant de l'emprunt à la signature du contrat

3029,133538 + 2 970,866462 = 6 000,000000 euros.



HYPOTHESE 2 : METHODE DU "BANQUIER pas SYMPA"



1) VALEUR ACTUELLE DU PREMIER VERSEMENT "x"

La lettre "H" designe la valeur actuelle pour éviter une confusion avec la valeur actuelle "V"
de l'hypothèse 1.

Le premier versement d'une valeur de "x" est payable dans 8 mois.
La valeur actuelle H(1) calculée au taux de 6,00 % l'an est de
avec un taux mensuel équivement de 0,486755057 % par mois.

x / 1,004867551 ;) = H(1)
x / 1,039610308 = H(1)


2) VALEUR ACTUELLE DU DEUXIEME VERSEMENT "x"

Le deuxième versement d'une valeur de "x" est payable dans 12 mois.
La valeur actuelle H(2) calculée au taux de 6,00 % l'an est de

x / 1,06 = H(2)


3) EQUATION EQUIVALENCE des valeurs actuelles "H"

A la date de conclusion de l'emprunt on a l'équivalence suivante :

6 000,00 = (H1) + H(2)
6 000,00 = [ x / 1,039610308 ] + [ x / 1,06 ]

Multiplions chaque membre de l'équation par 1,06, on a :

6 000,00 * 1,06 = = [ x * 1,06 / 1,039610308 ] + [ x * 1,06 / 1,06 ]
6 360,00 = [ x * 1,06 / 1,039610308 ] + [ x ]

Multiplions chaque membre de l'équation par 1,039610308 , on a :
6 360,00 * 1,039610308 = [ x * 1,06 * 1,039610308 / 1,039610308 ] + [ x * 1,039610308 ]
6 611,92 = [ 1,06 x ] + [ 1,039610308 x ]
6 611,92156 = 2,099610308 x
6 611,92156 / 2,099610308 = x
3 149,11845 = x

Le montant de chaque versement sera de 3 149,12 euros.

On constate que le résultat de l'hypothèse 2 est identique au résultat trouvé à l'hypothèse 1

VERIFICATION : ELLE EST IDENTIQUE A CELLE DE L'HYPOTHSE 1 et il suffit de s'y reporter.




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CONCLUSION GENERALE : QUELLE HYPOTHESE RETENIR
En France, en matière d'emprunts, en utilisant la méthode des intérêts composés, la méthode n° 1 est retenue.

MAIS si on utilisait la méthode 2 le résultat serait identique : c'est la conséquence de la méthode des intérêts composés.
En effet, dans la méthode des intérêts composés, pour passer de la valeur de départ à la valeur acquise ou vice et versa,
on procède, soit par une opération de multiplication d'un nombre à la puissance,
ou soit par une opération d'une division d'un nombre à la puissance.
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A suivre la solution du problème n° 2
A BIENTÔT

[SAGE63]

Le deuxième
Un capital de 80000€ est placé à intérêt simple à un taux t%. Au bout de 2 ans, le prêteur retire capital et intérêt et replace le tout à intérêt simple, à un taux (t+2)%.
Trois ans après ce nouveau placement, le prêteur dispose, capital et intérêts réunis de 130530 quelle est le taux de placement?

Bonjour

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Ce problème sera résolu suivant la méthode des INTERETS COMPOSES et la méthode du TAUX EQUIVALENT.

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1) ANALYSE DES ELEMENTS FINANCIERS

Nous avons les éléments financiers suivants :

a) le capital de 80 000,00 euros est placé pendant 2 ans au taux de t pour 1 par l'an.
La valeur acquise de ce capital sera de :
80 000,00 * (1 + t) ²

b) le capital plus les intérêts déterminés au a) est placé pendant 3 ans taux taux de (t+2) % l'an.
La valeur acquise de ce capital sera de :
[ 80 000,00 * (1 + t) ² ] * [ 1 + (t+2) ]³

c) à la fin du placement on obtient un capital plus intérêts de 130 530,00 euros.
soit une valeur acquise égale à :

[ 80 000,00 * (1 + t) ² ] * [ 1 + (t+2) ]³ = 130 530,00

2) MISE EN EQUATION DU PROBLEME



On a :

80 000,00 * (1 + t) ² * [1 + (t+2) ) ] ³ = 130 530,00

D'où :

(1 + t) ² * [1 + (t+2) ] ³ = 130 530,00 / 80 000,00

(1 + t) ² * [1 + (t+2) ] ³ = 1,6316250


Il faut résoudre une équation du 5ème degr酅désolé on ne m'a pas appris à résoudre ce type d'équation.

On peut résoudre ce type d'équation grâce aux calculatrices modernes et aux tableurs.

Personnellement je procède par la méthode des approches successives grâce à mon "camarade" tableur.

On a donc :

PREMIERE APPROCHE

Soit t = 10,00 % soit 0,1000 pour 1
on a (t+2) = 12,00 % soit 0,1200 pour 1
On a :
(1 + t) = 1,10000000
[1 + (t+2) ] = 1,12000000


(1 + t) ² = 1,21000000
[1 + (t+2) ] ³ = 1,40492800
et
1,2100000 * 1,4049280 = 1,6999629

qui est supérieur au résultat 1,6316250 recherché.


DEUXIEME APPROCHE

Soit t = 9,00 % soit 0,0900 pour 1
on a (t+2) = 11,00 % soit 0,1100 pour 1
On a :
(1 + t) = 1,09000000
[1 + (t+2) ] = 1,11000000
(1 + t) ² = 1,18810000
[1 + (t+2) ] ³ = 1,36763100
et
1,1881000 * 1,3676310 = 1,6248824

qui est inférieure au résultat 1,6316250 recherché.

"Nième" APPROCHE

Soit t = 9,091300 % soit 0,0909130 pour 1
on a (t+2) = 11,091300 % soit 0,1109130 pour 1
On a :
(1 + t) = 1,09091300
[1 + (t+2) ] = 1,11091300
(1 + t) ² = 1,19009117
[1 + (t+2) ] ³ = 1,37100850
et
1,1900912 * 1,3710085 = 1,6316251

qui est proche du résultat 1,6316250 recherché avec une différence de 0,0000001

Le taux du placement de 2 ans est de 9,0913 % l'an
Le taux du placement de 3 ans est de 11,0913 % l'an

VERIFICATION

Le capital de départ est de 80 000,00 euros


Le capital acquis au bout de deux ans s'élève à :
80 000,00 * (1 + t) ² =
80 000,00 * 1,19009117 = 95 207,2939 euros
ou encore
Les intérêts au bout de deux ans sont de :
80 000,00 * 0,19009117 = 15 207,29 euros
Le capital acquis au bout de deux ans s'élève à :
80 000,00 + 15 207,29 = 95 207,2939 euros

Le capital acquis à la fin des placements s'élève à :
95 207,29 * [1 + (t+2) ] ³ =
95 207,29 * 1,37100850 = 130 530,0090 euros
ou encore
Les intérêts au bout de deux ans sont de :
95 207,29 * 0,37100850 = 35 322,72 euros
Le capital acquis au bout de deux ans s'élève à :
95 207,29 + 35 322,72 = 130 530,0090 euros




A suivre la solution du problème n° 3
A BIENTÔT

[SAGE63]

Le troisième
Une personne obtient un prêt de x €, remboursable en 4 versements trimestriels, le premier versement ayant lieu dans 3 mois.
Chaque versement se compose

du quart de la somme prêtée

de l'intérêt simple calculé pendant le trimestre correspondant sur la somme qui restait due au début du trimestre.

Le total des versements effectués est égal à 86000€. Chacun des versements est inférieur de 600€ au précédent. Calculer le montant du prêt et le taux d'intérêt.
La clef ici est une équation à 2 inconnues sue je n'arrive pas à trouver.

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Ce problème sera résolu suivant la méthode des INTERETS COMPOSES et la méthode du TAUX EQUIVALENT.

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1) ANALYSE DES ELEMENTS FINANCIERS


Nous avons les éléments financiers suivants :

a) il y a 4 versements qui sont en progression arithmétique de raison -600,00 euros

b) le total des 4 versements trimestriels effectués s'élèvent à 86 000,00 euros


2) MISE EN EQUATION DU PROBLEME


A) dans un premier stade de calcul nous allons déterminer la valeur de chaque versement

On :

1er versement = x
2ème versement = x -600,00
3eme versement = x -600,00 -600,00 = x -1 200,00
4ème versement = x -1 200,00 -600,00 = x -1 800,00

et le total est de 86 000,00

On a l'équation
(x) + ( x -600,00 ) + (x -1 200,00 ) + (x -1 800,00 ) = 86 000,00

4 x -3 600,00 = 86 000,00
4 x = 86 000,00 + 3 600,00
4 x = 89 600,00
x = 89 600,00 / 4
x = 22 400,00

1er versement = 22 400,00
2ème versement = 21 800,00
3eme versement = 21 200,00
4ème versement = 20 600,00

Le total des quatre versements est de
22 400,00 + 21 800,00 + 21 200,00 + 20 600,00 = 86 000,00

B) on sait que chaque versement est égal au quart de la somme prêtée plus les intérêts trimestriels
sur le capital du en début de période.

Ainsi pour le quatrième versement de 20 600,00 euros, cette somme comprend

* le remboursement du quart du capital
* plus les intérêt sur le quart de ce capital restant à rembourser en début de période

Ainsi pour le troisième versement de 21 200,00 euros, cette somme comprend

* le remboursement du quart du capital
* plus les intérêt sur la moitié de ce capital restant à rembourser en début de periode

La différence entre le montant du quatrième versement soit 20 600,00
et le montant du troisième versement soit 21 200,00 , nous donne 600,00 euros
et cette différence est égale au montant des intérêts pour une période d'un trimestre le
le montant du quart du capital.

Comme on sait que le quatrième et dernier versement d'un montant de 20 600,00 euros
représente les intérêts sur le dit capital pour un montant de 600,00 euros
le quart du capital remboursé est de 20 600,00 -600,00 = 20 000,00 euros.

Le montant du prêt est de
20 000,00 * 4 = 80 000,00

Le taux d'intérêt TRIMESTRIEL nous est donné par la formule

I = C * (t/100)
avec

I = intérêt pour un trimestre
C = capital prêté
t = taux
n = nombre de trimestre

avec ici :
I = 600,00 intérêt compris dans le dernier versement
C = 20 000,00 capital compris dans le dernier versement

soit
20 000,00 * (t/100) = 600,00
(t/100) = 600,00 / 20 000,00
t /100 = 0,03
t = 3
Le taux trimestriel est de 3 %
Le taux annuel équivalent est de 1,03 ;) = 0,12550881 pour 1
soit 12,550881 %


3) VERIFICATION GENERALE


A) Le premier remboursement est de 22 400,00 qui est égal

* aux intérêts sur le capital restant dû soit 80 000,00 qui sont de
80 000,00 au taux de 12,550881 % l'an soit un taux trimestriel équivalent de 3 %
80 000,00 * 3 % = 2 400,00

* au quart du capital remboursé soit
80 000,00 / 4 = 20 000,00

Le premier remboursement est de
20 000,00 + 2 400,00 = 22 400,00

Et il reste à rembourser
80 000,00 -20 000,00 = 60 000,00


B) Le deuxième remboursement est de 21 800,00 qui est égal

* aux intérêts sur le capital restant dû soit 60 000,00 qui sont de
60 000,00 au taux de 12,550881 % l'an soit un taux trimestriel équivalent de 3 %
60 000,00 * 3 % = 1 800,00

* au quart du capital remboursé soit
80 000,00 / 4 = 20 000,00

Le deuxième remboursement est de
20 000,00 + 1 800,00 = 21 800,00

Et il reste à rembourser
60 000,00 -20 000,00 = 40 000,00


C) Le troisième remboursement est de 21 200,00 qui est égal

* aux intérêts sur le capital restant dû soit 40 000,00 qui sont de
40 000,00 au taux de 12,550881 % l'an soit un taux trimestriel équivalent de 3 %
40 000,00 * 3 % = 1 200,00

* au quart du capital remboursé soit
80 000,00 / 4 = 20 000,00

Le troisième remboursement est de
20 000,00 + 1 200,00 = 21 200,00

Et il reste à rembourser
40 000,00 -20 000,00 = 20 000,00


D) Le quatrième remboursement est de 20 600,00 qui est égal

* aux intérêts sur le capital restant dû soit 20 000,00 qui sont de
20 000,00 au taux de 12,550881 % l'an soit un taux trimestriel équivalent de 3 %
20 000,00 * 3 % = 600,00

* au quart du capital remboursé soit
80 000,00 / 4 = 20 000,00

Le quatrième remboursement est de
20 000,00 + 600,00 = 20 600,00

Et il reste à rembourser
20 000,00 -20 000,00 = zéro

A suivre la résolution du quatrième et dernier exercice

A bientôt