Quand tu as un groupe G et un sous groupe H de G, alors le groupe (*) G/H, c'est, par définition, l'ensemble des "classes modulo H", c'est à dire l'ensemble
des parties de G de la forme aH={a*x ; x dans H} (qui forment une partition de G). (En particulier, ce qu'il faut bien comprendre, c'est que les éléments de G/H, c'est des parties de G).
Ici, je t'ai donné la classe de
qui est :
{
*x avec x dans H} = {
*
;
*{1,2,3} } = {
; {1,2,3} } et c'est un des éléments de G/H.
Ensuite, c'est quoi (par exemple) la classe de l'élément {1} de G ?
(*)G/H est effectivement un groupe lorsque G est commutatif, ce qui est le cas ici. C'est aussi un groupe dans le cas non commutatif, mais à condition que H soit un sous groupe
distingué de G.
P.S. Et je suis d'une autre génération où tout ce qui est "nom propres", c'était pas trop la mode à l'époque, donc je sais pas ce que c'est une "table de Cayley".
Par contre je sais ce qu'est le "théorème de Lagrange" et c'est pas franchement lui qui dit que le cardinal de G/H c'est celui de G divisé par celui de H. En fait, ça provient simplement du fait que toute les classe modulo H contiennent le même nombre d'éléments, à savoir celui de H et que ces classes forment une partition de G donc on a : card(G) = Nb_de_classes x card(H) = card(G/H) x card(H)
D'un autre coté, c'est "lié" au théorème de Lagrange vu que c'est effectivement de cette relation que l'on déduit que card(H) divise card(G), mais c'est un soupons plus compliqué vu que le théorème de Lagrange est vrai y compris dans les cas non commutatif et où H n'est pas distingué, cas dans lequel il y a
deux ensembles distincts G/H selon que l'on quotiente à droite ou à gauche et aucun des deux n'est un groupe.
