Exercices de rentrée ECS 1

[Mathsman2]

Bonjour à tous!
Je rentre en prépa ECS 1 cette année et je n'arrive pas à terminer mes devoirs de vacances...
Voila une partie de mon DM de maths, Merci de votre aide...
(En souligné, ce que j'ai déjà fait)

1) Soit a un réel positif, démontrer que int(0,a)te^tdt = ae^a - int(o,a)e^tdt
En déduire que e^a = 1+a+ int(0,a)(a-t)e^tdt
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On pose In= int(0,a)((a-t)^n)/n! *e^tdt
Démontrer que In= (a^n+1)/(n+1)!+ In+1

3) Par récurrence, démontrer que e^a=1+a+a²/2+a^3/3+...+a^n/n!+In

4)a)Démontrer que 0No, on a 0No on a 0<Un<Uno (1/2)^(n-No)

c) En déduire la limite de Un quand n puis celle de In (théorème des gendarmes)

d) Déduire de tout ce qui précède que lim n (1+a+a²/2!+a^3/3!+...+a^n/n!)= e^a

Merci d'avance!!

[girdav]

Bonjour,
pour la question 3 tu peux tenter une intégration par parties dans laquelle il convient d'intégrer et de dériver l'exponentielle.

[Mathsman2]

Merci, j'ai essayé mais je n'arrive à rien là :$

[girdav]

Peux-tu trouver une primitive de ? On peux penser à du mais on se heurte à un problème de signe et de constante. Vois-tu comment le contourner?

[abcd22]

Bonjour,

4)a)Démontrer que 0No, on a 0<Un+1<1/2Un (Utiliser la notion de partie entière)

On voit peut-être mieux comment faire en écrivant .