Exercices normes subordonnées.

[Djoko]

Bonjour ;


Je considère E un espace vectoriel de dimension finie, F et G des sous espaces vectoriels de E supplémentaires et p la projection sur R parallèlement à G.
On note ((.)) la norme euclidienne et on suppose p lipschitzienne pour cette norme.

Je considère l'ensemble { (( p(x) ))/ ((x)) , avec x un élément de E }. J'ai montré que cet ensemble est majoré et on me demande de montrer que son sup est supérieur à 1. Pour cela j'ai considérer un élément de F, la norme subordonnée vaut 1 donc le sup est forcément supérieur à 1.

Mais ensuite on me demande de montre que si p est une projection orthogonale, le sup vaut 1. Et là je ne vois pas du tout ce qu'apporte le fait que p soit orthogonal ...

Si quelqu'un a une idée, merci d'avance.

[Le_chat]

Salut. Si tu écris x=y+z avec y dans F et z dans G, ça te donne quoi?

[Djoko]

Salut. Si tu écris x=y+z avec y dans F et z dans G, ça te donne quoi?

Salut ; en fait j'ai l'impression de pouvoir montrer que le sup vaut 1 meme quand ce n'est pas orthogonal. J'écris la décomposition que tu me suggères, et il vient immédiatement que c'est inférieur à 1. Ensuite je prend le cas ou x est un element de F , il vient que le sup est supérieur à 1. Alors le sup vaut 1, et je n'ai pas utilisé l'orthogonalité ...

[Djoko]

Salut ; en fait j'ai l'impression de pouvoir montrer que le sup vaut 1 meme quand ce n'est pas orthogonal. J'écris la décomposition que tu me suggères, et il vient immédiatement que c'est inférieur à 1. Ensuite je prend le cas ou x est un element de F , il vient que le sup est supérieur à 1. Alors le sup vaut 1, et je n'ai pas utilisé l'orthogonalité ...

Personne ?

[Le_chat]

"et il vient immédiatement que c'est inférieur à 1."

->si tu pouvais détailler ton raisonnement, je crois que ça bloque ici.