Exercices limites sup et inf

[egan]

Salut tout le monde,

J'ai regardé quelques exos d'application directe sur les limites sup et inf. J'aimerais voir avec vous si j'ai bien tout compris.

On me demande de traduire en termes de limites sup et inf les assertions suivantes:

-(u_n) est positive à partir d'un certains rang
-(u_n) est strictement positive à partir d'un certains rang
-(u_n) est minorée par un nombre strictement positif à partir d'un certains rang.

(u_n) est positive à partir d'un certains rang


Si (u_n) est positive à partir d'un certains rang, sa limite inf est positive.

Réciproquement, si la limite inf de (u_n) est positive, soit elle est réelle, soit c'est .
Si c'est , alors sa limite sup est aussi et alors (u_n) diverge vers , ce qui prouve que (u_n) est positive à partir d'un certains rang.
Si la limite inf de (u_n) est réelle, soit elle est strictement positive, soit elle est nulle.
Si elle est strictement positive, notons là l. Alors l/2 est strictement positive. A partir d'un certains rang, on a donc . Donc (u_n) est positive à partir d'un certains rang.
Si elle est nulle, et bien à mon avis la réciproque ne marche pas. Il suffit de prendre u_n = -1/n.

(u_n) est strictement positive à partir d'un certains rang


Si (u_n) est strictement positive à partir d'un certains rang, alors sa limite inf est positive.

Si la limite inf de (u_n) est positive, soit elle est infinie, soit elle est nulle, soit elle est réelle strictement positive.
Si elle est infinie, comme fait précédemment, (u_n) diverge vers et alors (u_n) est strictement positive à partir d'un certains rang.
Si elle est strictement positive réelle, on la note l, et comme précédemment, on montre que à partir d'un certains rang, donc (u_n) est bien strictement positive à partir d'un certains rang.
Si elle est nulle, la réciproque ne marcher toujours pas. Toujours l'exemple de u_n=-1/n.

(u_n) est minorée par un nombre strictement positif à partir d'un certains rang

Si (u_n) est minorée par un nombre strictement positif à partir d'un certains rang, alors la limite inf est strictement positive.
Réciproquement, si la limite inf de (u_n) est strictement positive, soit elle est réelle, soit elle est infinie.
Si est elle infinie, comme tout à l'heure, elle est minorée par un nombre strictement positif à partir d'un certains rang.
Si elle est réelle strictement positive, notons là l. Alors l/4 est strictement positif et à partir d'un certains rang, on a donc (u_n) est bien minorée par un nombre strictement positif à partir d'un certains rang.
Donc la réciproque marche.

J'en ai aussi trouvé un autre.
Soit (u_n) une suite telle que lim sup |u_n| = 0. Que dire sur (u_n) ?
On sait que et .
Donc et .
Donc et .
Donc et .
Donc lim sup u_n = lim inf u_n donc (u_n) converge dans . Donc (|u_n|) aussi et donc (|u_n|) converge vers 0 donc (u_n) aussi.

Voilà voilà.
Corriger moi si j'ai dit des bêtises.
Merci d'avance.
@+ Boris.

[eratos]

Salut tout le monde,

J'ai regardé quelques exos d'application directe sur les limites sup et inf. J'aimerais voir avec vous si j'ai bien tout compris.

On me demande de traduire en termes de limites sup et inf les assertions suivantes:

-(u_n) est positive à partir d'un certains rang
-(u_n) est strictement positive à partir d'un certains rang
-(u_n) est minorée par un nombre strictement positif à partir d'un certains rang.

(u_n) est positive à partir d'un certains rang


Si (u_n) est positive à partir d'un certains rang, sa limite inf est positive.

Réciproquement, si la limite inf de (u_n) est positive, soit elle est réelle, soit c'est .
Si c'est , alors sa limite sup est aussi et alors (u_n) diverge vers , ce qui prouve que (u_n) est positive à partir d'un certains rang.
Si la limite inf de (u_n) est réelle, soit elle est strictement positive, soit elle est nulle.
Si elle est strictement positive, notons là l. Alors l/2 est strictement positive. A partir d'un certains rang, on a donc . Donc (u_n) est positive à partir d'un certains rang.
Si elle est nulle, et bien à mon avis la réciproque ne marche pas. Il suffit de prendre u_n = -1/n.

(u_n) est strictement positive à partir d'un certains rang


Si (u_n) est strictement positive à partir d'un certains rang, alors sa limite inf est positive.

Si la limite inf de (u_n) est positive, soit elle est infinie, soit elle est nulle, soit elle est réelle strictement positive.
Si elle est infinie, comme fait précédemment, (u_n) diverge vers et alors (u_n) est strictement positive à partir d'un certains rang.
Si elle est strictement positive réelle, on la note l, et comme précédemment, on montre que à partir d'un certains rang, donc (u_n) est bien strictement positive à partir d'un certains rang.
Si elle est nulle, la réciproque ne marcher toujours pas. Toujours l'exemple de u_n=-1/n.

@+ Boris.

tu as dit des bêtises, si une suite est positif à partir d'un certain rang, elle pouvait être négative avant cela non? on ne sait rien du comportement de la suite u, elle peut très bien diverger quand n devient grand et donc ne pas avoir de ne pas . sa limite inf ne peut par ailleurs pas être positive.

[eratos]

on va considérer que (u_n) est une suite réelle.
-(u_n) est positive à partir d'un certains rang

la limite de u est soit un réel positif, soit elle diverge. Et c'est tout ce qu'on peut dire. La limite inf de u est strictement négative, parce que u ne devient positive qu'à partir d'un certain rang. (A moins que n vaut zero).

-(u_n) est strictement positive à partir d'un certains rang

idem que précédemment mais t'enlèves le "strictement".

-(u_n) est minorée par un nombre strictement positif à partir d'un certains rang.

Bah quand n devient grand, on peut rien dire de sa limite sup, sauf que si elle est finie, elle est égale ou supérieur à ce nombre qui minore la suite dès un certain rang.

Mais personnellement je ne comprend pas l'utilité de cet exo. Peut être que je n'ai juste pas compris l'énoncé :hum:

En espérant que quelqu'un te réponde mieux que ça :lol3:

[Deliantha]

Ces outils d'étude de suites réelles avec leurs propriétés en valeurs d'adhérence sont bien documentées sur [url=http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limites_inférieure_et_supérieure#section_5]Wikipédia[/url].
Le texte résumé "Made in Home" comporte de nombreuses redondances et lapalissades. La dernière assertion est a priori fausse : à vérifier grâce à des contre-exemples quelconques; au hasard : ( ou

[egan]

J'ai un peu de mal à te suivre parfois. C'est bon ce que j'ai fait ou pas ?

[egan]

Personne ?

[egan]

Quelqu'un peut-il me dire si ce que j'ai fait est bon ?

[Matt_01]

Après avoir lu je ne trouve pas d'erreur.

[egan]

Merci. ;)
C'est sympa d'avoir pris le temps de relire.