Exercices espaces vectoriels

[jklmmlkj]

ok, merci, pour la 4, vect{e_1, e_2} + vect{e_2, e_3, e_4} = vect{e_1, e_2, e_2, e_3, e_4} = vect {e_1, e_2, e_3, e_4} ? Et comme ce sera une matrice carré, on peut voir si elle est inversible non?

[Ben314]

Oui, ici, c'est une bonne idée. (Normalement, tu devrait trouver 0)
(il y a bien sur d'autres méthodes : tu pourrait regarder si la famille est libre par exemple...)

[jklmmlkj]

Oui je trouve bien 0. Donc la proposition est fausse.
Pour la 5, il faut montrer deux choses normalement:

-vect{e_4,e_5} + vect{e_1, e_2, e_3} = R^4
-vect{e_4,e_5} intersect vect{e_1, e_2, e_3} = {0}

C'est ca?
Merci.

[Ben314]

Pour le 4) : impec.

Pour le 5) :impec.

(je pense que c'est vrai, mais j'ai pas fait les calculs)

[jklmmlkj]

Ok, merci!

[houda 20]

Bonjour tout le monde, j'ai un exercice sur les espaces vectoriels mais j'ai un peu de mal avec cette leçon et donc avec l'exercice. Voici l'énoncé:

"Soient des vecteurs de de coordonnées respectives (0,1,-2,1),(1,0,2,-1),(3,2,2,-1),(0,0,1,0),(0,0,0,1) dans la base canonique. Les propositions suivantes sont-elles vrais ou fausses? Justifier votre réponses.

1. Vect{} = Vect{(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)}.
2. (1,1,0,0) Vect{} Vect{}.
3. dim(Vect{} Vect{}) = 1.
4. Vect{} + Vect{} = .
5. Vect{} est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect{} dans ."

Pour la première par exemple, est ce qu'il faut mettre les vect sous la forme est ensuite résoudre le système d'équation?

Merci de vos réponses!

salut
je vois que vous avez bien avancé dans l'exercice. j'ai pas bien vu que ce que vous avez fait. la connexion est très lente maintenant.
voilà que ce que je te propose pour le reste
pour le 2)
tu suit la meme méthode que le 1) pour prouver que ton vecteur est dans les deux ou non

pour le reste des questions je vais utiliser une proposition qui dit que si on a n vecteurs lin indépendant alors ils forment une base de R^n

[houda 20]

Bonjour tout le monde, j'ai un exercice sur les espaces vectoriels mais j'ai un peu de mal avec cette leçon et donc avec l'exercice. Voici l'énoncé:

"Soient des vecteurs de de coordonnées respectives (0,1,-2,1),(1,0,2,-1),(3,2,2,-1),(0,0,1,0),(0,0,0,1) dans la base canonique. Les propositions suivantes sont-elles vrais ou fausses? Justifier votre réponses.

1. Vect{} = Vect{(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)}.
2. (1,1,0,0) Vect{} Vect{}.
3. dim(Vect{} Vect{}) = 1.
4. Vect{} + Vect{} = .
5. Vect{} est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect{} dans ."

Pour la première par exemple, est ce qu'il faut mettre les vect sous la forme est ensuite résoudre le système d'équation?

Merci de vos réponses!

salut

je vois que vous avez très bien avancé dans l'exercice. la connexion est très lente maintenant c'est pour ce que je n'ai pas pu bien voir ce que vous avez fait. en tout cas. voila ce que te propose pou le reste

pour le 2) je pense que c'est facile. tu fait la meme chose que le 1) pour prouver que ton vecteur appartient bien aux deux sev ou non

dés maintenant je vais utiliser le fait que si on a n vecteurs lin indépendants alors ils forment une base de R^n.

[jklmmlkj]

Pour le 5, est ce que montrer que e_4 et e_5 n'appartiennent pas au vect{e_1, e_2, e_3} suffirait pour dire que c'est supplémentaire?
Merci.

[Ben314]

Non, ce n'est pas suffisant : il se pourrait qu ni e_4, ni e_5 ne soit dans
vect{e_1, e_2, e_3} mais que, par exemple 3e_4-5e_5 soit dans vect{e_1, e_2, e_3}.

Le fait que ce type de démarche fonctionne pour montrer qu'un "vect" est contenu dans un autre vient du fait que, si u et v sont deux éléments d'un sous espace vectoriel F alors tout les a.u+b.v (avec a,b dans R) sont aussi dans F.
Par contre, si ni u, ni v ne sont dans F, on ne peut pas savoir si a.u+b.v est ou n'est pas dans F.

Pour montrer que l'intersection ne contient QUE le vecteur nul, tu doit montrer que, si un vecteur v s'écrit
v = a.e_4+b.e_5 = c.e_1+d.e_2+e.e_3
alors forcémént ce vecteur est nul.

Normalement, à la fin de ce calcul, tu devrait trouver un résultat "un peu bizare" concernant c, d et e qui signifie quelque chose pour les vecteurs
e_1, e_2 et e_3 et qui devrait t'aider pour montrer la deuxième partie :
vect{e_4,e_5} + vect{e_1, e_2, e_3} = R^4

[jklmmlkj]

Ok, je trouve d=-a, c=-2e et b=0.

[Ben314]

Je pense que tu as fait une erreur : tu devrais trouver a=0, b=0 et des conditions sur c,d et e

[jklmmlkj]

En effet, je trouve a=0, b=0, c=-2e, d=-3e et e=-1/2c=-1/3d

[Ben314]

C'est O.K.
Qu'en déduit tu ?

[jklmmlkj]

J'en déduit que v = 0 et donc que vect{e_4, e_5} intersect vect{e_1, e_2, e_3} = {0}.

[Ben314]

Impec.
Si regarde les "conditions bizares" sur c,d,e, tu peut aussi faire une autre déduction concernant les vecteurs e_1, e_2 et e_3 qui te serait grandement utile pour la suite.
(a mon avis on aurait sans doute pu "déduire" ca plus tôt et cela aurait peut-être racourci l'exercice...)

[houda 20]

voilà un cours que tu peux télécharger;
cours débutant
IL POURRA T'AIDER

le problème maintenant est que
est ce que vous avez fait ces propriétés là
1_la dimension d'un sev engendré par n vecteurs est le rang de ce système.
2_f,g sont deux sev
dimf+dimg-dim(l'intersection de f et g)=dim(f+g).

si vous avez fait ca. la solution de 4 se fera normalement en une seconde

[houda 20]

vous avez trouvé que le 3) est faux
leur intersection est sev de dim 2

[houda 20]

le 4) est faux
car dim de . Vect{e_1,e_2} est 2. dim de l'autre est 3
dim de la somme=2+3-2=3 différente de la dimension de R^4

[jklmmlkj]

Oui, merci pour le cours houda 20, j'ai fait les exos 1, 2, 3, 4 et j'ai en effet trouvé que le 3 est faux.

Et pour le 5, je trouve que -2e_1-3e_2+e_3 = 0.

[houda 20]

et pour le 4)???????????
comment vous avez fait pour le 3). vous l'avez calculé ou quoi. en tout cas quoi que vous trouveriez. le 4) reste toujrs faux. car sa dimension doit égale à 1. sinon on aurait pas égalité
"bien sur deux sev de dim non égales ne sont pas égaux"