Exercices espaces vectoriels

par **jklmmlkj** » 27 Nov 2009, 19:23

Pour le 1, ils admettent tous des solutions donc c'est vrai?

par **houda 20** » 27 Nov 2009, 19:27

jklmmlkj a écrit:Bonjour tout le monde, j'ai un exercice sur les espaces vectoriels mais j'ai un peu de mal avec cette leçon et donc avec l'exercice. Voici l'énoncé:

"Soient des vecteurs de de coordonnées respectives (0,1,-2,1),(1,0,2,-1),(3,2,2,-1),(0,0,1,0),(0,0,0,1) dans la base canonique. Les propositions suivantes sont-elles vrais ou fausses? Justifier votre réponses.

1. Vect{} = Vect{(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)}.
2. (1,1,0,0) Vect{} Vect{}.
3. dim(Vect{} Vect{}) = 1.
4. Vect{} + Vect{} = .
5. Vect{} est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect{} dans ."

Pour la première par exemple, est ce qu'il faut mettre les vect sous la forme est ensuite résoudre le système d'équation?

Merci de vos réponses!

salut
bon. ca fait 3 ans depuis que je n'ai pas revu ces choses là très bien. mais je vais essayer de t'aider à partir des définitions élémentaires qui me restent.
pour la 1 ere question
en premier lieu je pense que tu dois vérifier la dimension de chacun. i.e celle de vect{e1,e2,e3} et l'autre. j'ai fait les calculs et ca marche. ce sont tout les deux deux sev de dim 2. tu as e1 et e2 qui sont lins indépendant. sinon si on a trouvé le contraire. deux sev de dim non égales ne sont pas égaux.
il faut vérifier maintenant l'inclusion des deux cotés. ie vect{e1,e2,e3} inclut dans l'autre et le contraire. tu prends un x appartenant à vect{e1,e2,e3} et tu démontres qu'il appartient à l'autre. i.e que si x=a*e1+b*e2 alors il existe c et d tel que x=c*(1,1,0,0)+d*(-1,1,-4,2)
notons que puisque {e1,e2,e3} est une famille lin dépendante donc chaque vecteur peut s'écrire comme étant une combinaison linéaire des autres. donc tu n'a pas besoin de le faire intervenir dans les calculs.
on a la première inclusion puisque e1=1/2*(1,1,0,0)+1/2*(-1,1,-4,2) et e2=1/2*(1,1,0,0)-1/2*(-1,1,-4,2) ce qui donne que x appartient bien au deuxième.
et je pense que ca marche pour la deuxième inclusion.

maintenant je suis obligée de me retitrer. je te donnerai le reste après
j'éspère que ma réponse te serait utile. bonne chance.

par **houda 20** » 27 Nov 2009, 19:30

je veux dire que tu n'as pas besoin d'introduire le e3 dans les calculs

par **jklmmlkj** » 27 Nov 2009, 19:44

Ok, merci mais pour le 1, j'ai regardé si les vecteurs de gauche étaient dans le vect de droite et si les vecteurs de droite étaient dans le vect de gauche, ca marche quand même?

par **houda 20** » 27 Nov 2009, 19:57

jklmmlkj a écrit:Ok, merci mais pour le 1, j'ai regardé si les vecteurs de gauche étaient dans le vect de droite et si les vecteurs de droite étaient dans le vect de gauche, ca marche quand même?

oui c'est bien ca
tu peux rechercher dans google" td espace vectoriel corrigé" et je pense que tu en trouvera quelque chose d'utile

par **jklmmlkj** » 27 Nov 2009, 20:03

Ok, merci, pour le 2, ce que j'avais fait avant, c'est faux?

par **Ben314** » 27 Nov 2009, 20:06

La méthode que te propose houda20 est celle dont je te parlais plus haut (a condition de connaitre le théorème).

Pour ce qui est de la méthode que tu as employé, oui ca marche, mais il faut donner une petite expliquation :
Normalement, pour montrer qu'un ensemble X est contenu dans un ensemble Y, il faut montrer que TOUT les éléments de X sont bien dans Y.
Ici, tu a montré que e_1, e_2 et e_3 sont dans le "vect. de droite", mais il y a d'autres éléments que e_1, e_2 et e_3 dans vect{e_1,e_2,e_3} par exemple 3e_1-5e_2+7e_3 ou 17e_1-2e_3...
Est-ce que tu comprend pourquoi il n'est pas nécéssaire de montrer que tout ces "autres" éléments sont aussi dans le "vect. de droite" ?
Cela vient du fait que TOUT les éléments de vect{e_1,e_2,e_3} peuvent s'écrire sous la forme a.e_1+b_e_2+c.e_3 et que, du fait que e_1,e_2 et e_3 sont tout les 3 dans le "vect de droite" on peut déduire que tout les élément de la forme a.e_1+b_e_2+c.e_3 sont eux aussi dans le "vect de droite" (car le "vect de droite" est un espace vectoriel).

En résumé, montrer que e_1, e_2 et e_3 sont dans le "vect. de droite" prouve que vect{e_1, e_2,e_3} est contenu dans le "vect de droite"
De même, quand tu montre que les deux vecteurs de droite sont dans vect{e_1, e_2,e_3}, cela prouve que le "vect de droite" est contenu dans vect{e_1, e_2,e_3}.

Les deux inclusions montrent bien qu'en fait les deux ensembles sont égaux et c'est Ce Qu'il Fallait Démontrer (c.q.f.d.)

Remarque : il est assez fréquent en mathématique que, pour montrer que deux ensembles sont égaux, on montre en fait cette double inclusion, mais tu verra un peu plus tard, en particulier avec le "théorème_que_tu_n'a_pas_encore_vu" qu'en algèbre linéaire, avec un peu d'astuce, il suffit souvent de montrer une des deux inclusions pour avoir l'autre.

par **jklmmlkj** » 27 Nov 2009, 20:16

Ok merci, j'ai compris :) Pour la proposition 2, il faut d'abord trouver Vect{e_1,e_2} intersect vect{e_2,e_3,e_4}?

par **Ben314** » 27 Nov 2009, 20:21

Tout à fait, en faisant ce que tu proposait pour le 1), c'est à dire écrire que tu cherche un vecteur que s'écrive a l'aide de e_1,e_2 ET AUSSI à l'aide de e_2,e_3,e_4.

par **Ben314** » 27 Nov 2009, 20:24

STOOOOOOOOP :
Le 2) tu l'as déjà fait hiers (post de 18h31) : c'était juste, c'est moi qui avait mal lu l'énoncé :stupid_in ......

Tu en est donc au 3).

par **jklmmlkj** » 27 Nov 2009, 20:31

lol! ok merci!
Donc la 3...

par **jklmmlkj** » 27 Nov 2009, 20:46

La je ne vois pas trop, il faut finalement le trouver Vect{e_1,e_2} intersect vect{e_2,e_3,e_4}?

par **Ben314** » 27 Nov 2009, 21:35

Oui, là j'ai peur que tu n'ai pas le choix :
Pour montrer que

est de dimension 1, il faut montrer que cest le "vect" d'un seul vecteur c'est à dire montrer que les vecteurs qui sont a la foix dans

et dans

sont en fait les multiples d'un seul vecteur (si tu regarde les deux 'vect' il apparait qu'il y a déjà tout les multiples de e_2 qui sont communs, mais Y EN A T-IL D'AUTRES ??? mystère...)

La suite au prochain épisode...

par **jklmmlkj** » 27 Nov 2009, 21:41

mdr, ok!
Je continuerai demain, la fatigue se fait ressentir... En tout cas, merci beaucoup pour l'aide, c'est super gentil, parce que j'aurai du mal sinon :S Surtout que j'ai un autre exercice par la suite encore plus abstrait :(

par **jklmmlkj** » 28 Nov 2009, 10:46

Bon j'avoue que j'ai du mal à résoudre le système, j'ai e=0, a=2d=2/3(b-c) mais je suis bloqué la...

par **Ben314** » 28 Nov 2009, 11:32

Oui, c'est bien ca.
Aprés, il faut "interpréter" ce que cela veut dire concernant le éléments de l'intersection.
Ce que tu as montré c'est que les vecteur de l'intersection sont ceux qui s'écrivent sous la forme
a.e_1+b.e_2
où a et b vérifient les conditions que tu donne (tu pourrait prendre l'autre formule à la place, mais elle est plus longue...)
La question arrivé ici, c'est, si je te donne a et b (par exemple a=13 et b=17) peut tu trouver systématiquement des c,d et e de façon à ce que tes formules soient vérifiées.
Si c'est le cas, cela prouvera que TOUT les vecteurs a.e_1+b.e_2 sont dans l'intersection.
Ensuite, si e_1 et e_2 est une famille libre (regarde ton cours pour voir ce que cela veut dire) cela prouvera que la dimension de l'intersection est 2 (il faut 2 vecteurs pour écrire tout les autres...)

par **jklmmlkj** » 28 Nov 2009, 11:59

ok, merci, mais je ne vois pas trop comment on peut faire avec l'intersection.Pourquoi on fait qu'avec les vecteurs qui sont dans le vect de gauche? Et pour montrer que e_1 et e_2 sont libres, on peut bien mettre ces vecteurs sous forme de matrice, puis la mettre sous la forme d'une matrice carré et vérifier si elle est inversible?

par **Ben314** » 28 Nov 2009, 12:11

Normalement, si tu rédige "propre" avant de résoudre le système, tu doit écrire :

"Un vecteur v de R^4 appartient à l'intersection des "deux vect" si et seulement si :
v=a.e_1+b.e_2=c.e_2+d.e_3+e.e_4

Aprés, tu fait les calculs (en ne tenant pas compte du "v=") puis, pour les "interpréter", tu écrit que

"v=a.e_1+b.e_2 où a et b sont tels qu'il existe c,d,e vérifiant..."
OU BIEN
"v=c.e_2+d.e_3+e.e_4 où c,d et e sont tels qu'il existe a,b vérifiant..."

Il ne faut pas écrire les deux (vu que tu as déja regardé à quelle condition ces deux quantités sont égales) et je te conseillait d'écrire plutôt la première car elle est plus simple.

par **jklmmlkj** » 28 Nov 2009, 12:17

Ok, merci, donc il faut que je trouve b en fonction de a, pour ensuite réduire les deux vecteurs en un seul vecteur (dans le cas ou v=a.e_1+b.e_2)? Parce que je ne trouve pas les réels a et b...

par **Ben314** » 28 Nov 2009, 12:32

Justement, ici, QUELQUE SOIENT a et b, tu peut trouver c,d,e tels que...
Ce qui signifie qu'il n'y a pas de conditions sur a et b (il fallait bien évidement faire les calculs pour en étre sur) et donc qu'en fait, l'intersection des deux "vect" est vect{e_1,e_2} tout entier.
Il ne reste plus qu'a calculer la dimension de vect{e_1,e_2}.
Il est facile de prouver que la famille {e_1,e_2} est libre (et pas avec des déterminants : on n'a que DEUX vecteurs et on est en dimension 4)
Tu en déduis que vect{e_1,e_2} est de dimension 2 et donc que la proposition 3 est fausse !!!

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