Exercices d'analyse

par **alecs20** » 31 Juil 2006, 17:06

Bonjour et merci a tous de répondre, car c'est mon examen ce soir !!

1) Soit f(t) = t / [(3-t)(t-2)(t+1)]^(1/2) compris entre ]2,3[.

Question 1: Montrer que f possède au moins un minimum relatif dans l'intervalle ouvert ]2,3[. (Calculer les limites de f aux extrémités de l'intervalle et utiliser des théorèmes du chapitre de la continuité.)

Question 2: Montrer que f possède un unique minimum relatif dans l'intervalle ouvert ]2,3[. (Indication: Calculer la dérivée de f et l'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est strictement positif.)

2) Montrer que la fonction f définie sur I = [0, 2] par f(x) = 0 si x [0, 1] et f(x) = 1 si x ]1, 2]nest la dérivée daucune autre fonction sur I. (Il nexiste aucune fonction F définie sur I etvérifiant F(x) = f(x) pour tout x dans I).

par **Flodelarab** » 31 Juil 2006, 17:10

Salut!

Ben yaka ....

Qu'est ce que t'attends ?

par **alecs20** » 31 Juil 2006, 17:21

Au moins une bonne piste:D Pour le premier la question un on voit que la fonction va vers linfini quand x se rapproche de 2 positif ou 3 negatif, et il faut appliquer le theoreme qui dit qu'une fonction continue sur un interval [a,b] a forcement un minimum, mais l'interval est ouvert, alors il faut utiliser la definition de la limite pour fermer l'interval ]2,3[ je croix, mais comment? Je sais pas.

par **Flodelarab** » 31 Juil 2006, 17:29

ben dis nous.

C koi un minimum relatif?
quels sont les variations de ta fonction?
ça peut tendre vers l'infini ou ya une valeur minimum ATTEINTE ?

par **alecs20** » 31 Juil 2006, 17:32

La question c'est ca, si tu es capable de répondre répond.. sinon je peux pas t'aider plus, c'est moi qui la pose la question! lol

par **Flodelarab** » 31 Juil 2006, 17:45

....

minimum relatif, c du cours.
Sens de variation de la fonction, c du niveau lycée.

Bosse! au lieu de faire bosser les autres. Je deteste ceux qui pose un énoncé brut et s'en vont.

défriche et on verra les points d'accroche. Compte pas sur moi pour calculer la dérivée...

par **Sdec25** » 31 Juil 2006, 17:47

Pour montrer qu'il y a un minimum on peut se servir du fait que la limite est la même (+ infini) en 2 et 3.
C'est quoi que tu n'arrives pas à faire autrement ?

par **alecs20** » 31 Juil 2006, 17:56

..... Je vois pas c quoi le probleme? jai énoncé le theoreme permettant de résoudre la question clairement: Si une fonction est continue sur un interval FERMÉ [a,b], alors elle possède un c faisant partie des reels tel que f(c) est plus petit que f(x) pour tout les x faisant parti de [a,b]. Le probleme, c'est que la fonction n'est pas continue sur l'interval fermé [2,3], alors il faut remedier a ce probleme en utilisant tres probablement la définition d'une limite qui est (je vous la donne en plus): f admet L comme limite ua point a si pour tout e > 0 il existe d > 0 tel que |f(x)-L| < e lorsque 0 < |x-a| < d. Maintenant je prie a ceux qui ne sont pas rendu a ce niveaux de ne pas répondre. Quelqu'un qui connais ca poserait pas des questions comme 'quest-ce qu'un minimum relatif'. Merci!

p.s: si la question c'est de prouver quil ya un minimum et que jai dis qua 2 positif et 3 negatif ca tend vers linfini, c'est pas dur de déduire le sens de la variation, qui ressemble a une parabole positive, niveau lycée.

par **Sdec25** » 31 Juil 2006, 18:12

Si la limite en 2+ est + infini et la limite en 3+ est + infini aussi, alors la fonction est d'abord décroissante puis croissante donc il y a au moins un minimum.

par **alecs20** » 31 Juil 2006, 18:18

Je suis d'accord avec ton raisonnement sdec25:) Mais si je marque ca a l'exam j'aurai 1/10... A quoi ressemblerait cette preuve?

par **Flodelarab** » 31 Juil 2006, 18:23

qq remarques toutes bètes:

3 est toujours positif 3 négatif n'a pas de sens
Le minimum n'est pas forcément au bord de ton intervalle.
ta courbe est continue?

par **Sdec25** » 31 Juil 2006, 18:46

Oui enfin pour 3- je voulais dire x<3 et pour 2+ x>2 :happy3: (edit : ah ct pas pour moi la remarque :we: )

Pour la démonstration c'est évident qu'il y a un minimum. Tu peux toujours calculer la dérivée en 2 et 3 et montrer qu'elle n'a pas le même signe mais c'est plus compliqué.

par **alecs20** » 31 Juil 2006, 18:48

- 3 negatif veut dire la limite quand x tend vers 3 negativement.
- je sais.
- Il faut le prouver ici. Et je pensais utiliser f(x) = lim quand t tend vers x de f(t), mais c'est la définition de la continuité en 1 point. Comment on montre qu'une fonction est continue sur tout un intervalle?

par **nox** » 31 Juil 2006, 18:50

les produits, sommes etc.... de fonctions continues sont continus ^^

par **alecs20** » 31 Juil 2006, 18:50

Mais la dérivée en 2 et en 3 n'existe pas... puisque la fonction n'y est meme pas continue. (merci nox pour la continuité tas raison)!

par **nox** » 31 Juil 2006, 18:52

ATTENTION : continue n'implique pas dérivable

c'est la dérivabilité qui implique la continuité mais ca n'est pas une équivalence

par **Sdec25** » 31 Juil 2006, 18:54

Même si la fonction n'est pas dérivable en 2 et en 3 on peut dire qu'elle est décroissante sur ]2, a[ et croissante sur ]b, 3[ (2

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