Bonjour, je suis étudiante en L2 et je prépare le concours vétérinaire. J'ai voulu m'entrainer sur une annale du concours mais je bloque des le début, j'ai du mal a commencer et même mon prof de maths bloque ... Donc si quelqu'un a une idée, elle est la bienvenue.
Voici le sujet :
X et Y, 2 variables aléatoires indépendantes dans N;
On a : Pour tout k appartenant à N*; P(X=k) = a(1-a)^(k-1)
Et Z = X-Y Si X>Y
0 sinon
Déterminer la loi de Z en fonction de Y et montrer qu'elle ne dépend que de :
Alpha = E ((1-a)^Y) , sachant que E, c'est l'ensemble des parties d'un ensemble.
1- On peut déjà remarquer que X suit une loi géométrique de paramètre a. Seulement on ne sait rien sur la loi de Y , alors comment faire ?
Merci d'avance.
Exercice type Concours B véto
4 messages
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par arnaud32 » 18 Nov 2010, 10:31
premiere chose:
=0)
car^{k-1}=\sum_{k=0}^{\infty}a(1-a)^{k}=a*\frac{1}{1-(1-a)}=1)
 = P(X-Y=k ;et; X>Y) +P(k=0 ;et; X\leq Y))
tu peux isoler la cas k=0
 = P(X=Y ;et; X>Y) +P(k=0 ;et; X\leq Y)= 0 + P(X\leq Y) =\sum_{s=0}^{\infty}P(Y\geq s ;et; X=s))
X et Y etant independants
=\sum_{s=0}^{\infty}P(Y\geq s)*P( X=s))
tu as aussi
=\sum_{s=0}^{\infty}\sum_{t=s}^{\infty}P(Y=t)*P( X=s)=\sum_{t=0}^{\infty}\sum_{s=0}^{t}P(Y=t)*P( X=s)=\sum_{t=0}^{\infty}P(Y=t)*P( X\leq t))
=\sum_{p=1}^ta*(1-a)^{p-1}=\sum_{p=0}^{t-1}a*(1-a)^p=a*\frac{1-(1-a)^{t}}{1-(1-a)}=1-(1-a)^{t})
d'ou finalement
 = \mathbb{E}(1-(1-a)^Y)=1-\mathbb{E}((1-a)^Y))
pour
 = P(Y=X-k ;et; X>Y) +0 =\sum_{s=0}^{\infty}P(Y=s-k ;et; s>Y ;et; X=s))
comme X et Y sont independants
 =\sum_{s=0}^{\infty}P(Y-s=-k ;et; 0>Y-s)*P(X=s))
or si
avec 
alors 0>Y-s
donc
 =\sum_{s=k}^{\infty}P(Y=s-k)*P(X=s)=\sum_{u=0}^{\infty}P(Y=u)*P(X=u+k))
et
 =\sum_{u=0}^{\infty}P(Y=u)*a*(1-a)^{u+k-1}=a*(1-a)^{k-1}\sum_{u=0}^{\infty}P(Y=u)(1-a)^Y=a*(1-a)^{k-1}\mathbb{E}((1-a)^Y))
=P(X=k)\mathbb{E}((1-a)^Y))
car
tu peux isoler la cas k=0
tu as aussi
d'ou finalement
pour
comme X et Y sont independants
or si
donc
et
par Emeline2803 » 18 Nov 2010, 22:09
Merci beaucoup , je vais relire ça tranquillement en essayant de comprendre toutes les étapes.
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