Exercice trop difficile

[mseti]

bonjour,
Soiy, f:R --- R
x----1/1+x²
demontrez que pour tout entiers naturel n appartenant à N,f est n-fois derivable sur R et qu'il exisye une fonction polynôminale pn telle que:
quelque qoit dans R, f(n) (x) =pn(x)/(1+x²)^n+1
merci d'avance :lol3:

[JackeOLanterne]

Appelle f(n)la fonction telle que f(1) = f. Quelle est son domaine de définition et sa dérivabilité ? Que vaut la dérivée (itérée à n) ? Détermine l'existence de Pn par récurrence.

[mseti]

Appelle f(n)la fonction telle que f(1) = f. Quelle est son domaine de définition et sa dérivabilité ? Que vaut la dérivée (itérée à n) ? Détermine l'existence de Pn par récurrence.

j'ai pas bien compris

[Mathusalem]

Dérive quelques fois la fonction, et dans chaque dérivée, essaie d'isoler le terme en 1/(1+x^2)

Tu verras que tu pourras, dans ta nème dérivée, isoler un terme de la forme 1/(1+x^2)^n+1

A chaque fois tu observeras que ta dérivée peut se décomposer en ce terme que tu isoles, multiplié par un polynôme.

Trouves une expression en fonction de n de cette décomposition, et prouve par récurrence qu'elle est correcte.