Exercice Topologie

[Anis1801]

Bonjours, je galère sur un exo en topologie, j'ai réussit à un peu l'avancer mais je ne suis pas sure de mon raisonnement.. Le raisonnement devient bof a partir de la question 5 je dirai
Voici l'exo:

1- On a que l'ensemble de définition de f est ici R^2 . La fonction est bien de classe C^1 . Pour le démontrer il suffit de trouver les dérivées partielle de f et montrer qu'elles sont bien définit sur Df.
Donc la je les cacule et montre bien que les dérivée partielle sont continue sur Df. Je précise qu'un polynome est bien continue et que donc f est bien C^1 sur Df.

2- Pour démontrer la convergences de , on va fixer x1 et x2 séparement , par la suite je calcule la limite séparement et montre bien que les tendent vers +inf et donc que la limite de f quand x tend vers + infini est bien + infini

3- Pour démontrer que l'ensemble est compact j'ai juste utiliser le faites que l'ensemble devait être à la fois borner et fermé. J'ai bien utiliser les caractérisation séquentielle pas de soucis (du moins j'éspère).

4-La fonction f(x) est continue. De plus elle est définie sur un compact. Or, on sait que toute fonction continue sur un compact atteind ses bords. On en déduits donc que la foncion f(x) admet bien un inf quand x appartient a K.

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A PARTIR DE LA JE NE SUIS PAS DU TOUT SURE DE MON RAISONNEMENT

5- Admettons que f admette un inf sur la frontière de K, cela voudrait dire que f n'aurai pas de valeure sur: puisque le minimum serait atteind en 2. On peut donc admettre que si f est définie sur K c'est qu'il admet un inf dans l'intérieure de K.

6- On a bien que f admet un minimum en f(x0) tq inf f(x) = f(x0) d'après la question 5.
Alor si J(f)(x0)=0 . C'est que x0 appartient au noyen de g tq le produit de la jacobienne et du vecteur x0 donne bien 0.

7- A l'aide des question précèdentes, on en déduit que x0 est bien le minimum de f sur K

8- On a réussit à démontrer que f est minorée sur le compact K tq KC(inclus)Df . On en déduit que f est minorée sur Df.

[capitaine nuggets]

Salut !

1. Tu as même mieux, est une fonction polynomiale homogène de degré donc elle est de classe .

2. Si on suppose que , c'est bizarre comme question.... que signifie alors ? Peut-être aurait-il fallu mettre (où désigne par exemple la norme euclidienne), je trouve que cela aurait eu plus de sens. Après ça dépend des conventions de ton prof.

3. Ok, mais un petit rappel ne fait jamais de mal : cela n'est vrai qu'en dimension finie. En dimension infinie tu as seulement "compact implique fermé borné". Tu aurais pu montrer que K est un compact en l'écrivant comme l'image réciproque d'un compact par une fonction continue : .

4. Là tu anticipes sur la question 7. Montrer qu'il existe tel que signifie qu'il faut montrer que la borne inférieure de l'ensemble existe. Pour cela, il faut montrer que cet ensemble est non vide et minoré.

5. Tu peux essayer de raisonner par double-inégalité : tu montres que et .
Pour cela, tu peux utiliser le fait suivant : étant donné un ensemble non vide , on a si et seulement si .

6. Je ne sais pas qui est ton .

[Anis1801]

Merci beaucoups pour ces indications supplémentaire c'est sympa je vais affiner tous sa ! J désigne la jacobienne, ici la jacobienne de f en x0. Sinon oui pour la 2 je pense que c'est tout ce que notre prof attend de nous ^^

[Anis1801]

Quelqu' un a une idée ? Ahah

[zygomatique]

salut



ouais bof .......

finalement je ne vois pas l’intérêt de cet exercice tel qu'il est posé et l'introduction du compact K puisqu'au final pour trouver le minimum il faut passer par les dérivées partielles pour avoir ce minimum ...

d'autant plus que cette fonction est polynomiale donc ne pose aucun pb ...

de plus cette fonction tend évidemment vers plus l'infini à l'infini (par croissance comparée des fonction affine et puissance quatre) donc par continuité elle admet évidemment un minimum

enfin f(x, y) = f(y, x) = f(-x, -y) donc ce minimum a lieu en plusieurs points ....

une fois qu'on a prouvé que f(K) est non vide et minoré alors :

f admet un minimum sur K = {(x, y) / f(x, y) =< 2} en un point p et ce minimum est inférieur (ou égal) à f(0, 0) = 0 (donc O = (0, 0) appartient à K) or le domaine I = {(x, y) / f(x, y) < 1} est strictement inclus dans K donc intérieur à K et contient l'origine ...

[Anis1801]

Merci !

[pascal16]

Pour ma part, je pense que la 5 est la suite de la 4 (jeu de mots).

A la 4 tu démontre l'existence d'un minimum
A la 5, le but c'est de dire que le minimum est soit dans l'intérieur de K, donc rien à démontrer, soit sur le frontière et donc il faut prouver qu'il existe une suite d'éléments de l'intérieur de K convergent vers ce minimum. Le minimum est connu, c'est f(xo) !

[Ben314]

Salut,

... je ne vois pas l’intérêt de cet exercice tel qu'il est posé et l'introduction du compact K puisqu'au final pour trouver le minimum il faut passer par les dérivées partielles pour avoir ce minimum ...

Le but du jeu, concernant le compact et les deux première question, c'est de démontrer que ce qu'on va trouver à l'aide des dérivées partielles, c'est non seulement un minimum local, mais en fait un minimum global de la fonction.

Tout provient (évidement) du simple fait que f(x)->oo lorsque x->oo et on pourrait éventuellement se contenter de cet argument pour arguer qu'il existe un minimum global à la fonction f, mais si on veut "tout bien rédiger comme il faut", ce passage par en compact K est obligatoire : en dehors de K on s'en fout vu que la fonction est >??? donc ça sert à rien pour calculer la borne inférieurs et dans le compact, on a des théorèmes qui garantissent l'existence d'un minimum global sur le compact qui va évidement être le minimum global de f sur R^n tout entier.

Bref, c'est du "on ne peut plus classique" comme raisonnement de passer par un compact.

[zygomatique]

oui c'est vrai : c'est le classique sur R étendu à R^2 ici ... merci ...

[Anis1801]

Merci pour ces indications je vais ameliorer tous sa!