Bon je vais quand même donner des indications plus poussées...
Question 1.Normalement, vous avez du définir l'adhérence par
(ou plus formellement
).
Construis ta suite en choisissant des valeurs judicieuses de
.
Écris la définition de la limite si ça ne te paraît pas immédiat...
Question 3.Outre le fait que je n'aie pas remarqué l'erreur de raisonnement (ou faute de frappe peut-être)
d(y,A) =< d(y,x)+ d(x,A) alors d(x,A) -d(y,A) >= - d(y,A)
je pense qu'il s'agit un copier-coller de la ligne du dessus en changeant
en
. Autrement dit, c'est le même argument répété deux fois
Question 4. Ce qui me gêne dans le raisonnement, c'est le
d'où mon contre-exemple.
Et puis l'argument de ton deuxième post est du type "ben ça marche parce que ça se voit", ce qui n'est pas recevable
Essaies plutôt de voir ça avec des voisinages. Par exemple si je prends
, je sais qu'il est dans
, donc qu'il existe tout un voisinage
de
dans
donc tel que
. De là tu peux conclure (il reste des choses à dire quand même) que
. Pareil pour
...
C'est vrai que ça n'est pas évident. On peut découper le problème en trois.
1. Montrer que cette application est continue sur E.
2. Que dire du signe de cette application sur A et sur B ?
3. Conclure. (indication : l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est...)
Question 5.D'accord pour la faute de frappe. Mais bon vu que
et
sont quelconques, il y a peu de chances pour que
(ou plutôt
pour garder les notations de l'énoncé) vaille 1 sur
.
Ton application doit valoir 0 sur A donc doit probablement être de la forme x->d(x,A)*f(x). Puis elle doit valoir 1 sur B, donc pour
on a
. Sauf que le dénominateur ainsi obtenu ne doit pas s'annuler, donc il faut l'ajuster un peu...
Pour conclure, il faut appliquer le même raisonnement qu'à la question 4. (c'est essentiellement la même chose...).