Exercice sur les sous espaces vectoriel.

[novicemaths]

Bonsoir

Voici un exercice de type examen sur les sous espaces vectorielles.

Je n'ai pas encore bien assimiler famille libre et génératrice de vecteur.

Pourriez vous vérifier mes calculs ?

Dans l'espace vectoriel on considère les vecteurs v1 = (5; 6; 3); v2 = (2; 2; 1); v3 = (1; 2; 1) et le sous-ensemble On note K le sous-espace vectoriel de engendré par
les vecteurs v1; v2; v3 c'est-à-dire K = vect(v1; v2; v3).
1) Montrer que H est un sous-espace vectoriel de R3. Trouver une base de H.
2) Trouver une base de K.
3) Montrer que K et H sont supplémentaires, c'est-à-dire qu'on a : = .
4) On admet que est un sous-espace vectoriel de . A-t-on
=

Voici mes calculs:
1)
On teste



Soient et avec , ,



Donc

Si et alors donc d'où

H est bien un sous espace vectoriel.

2)
Famille libre.








Famille génératrice

On a

Et









Avant d'aller plus loin, je souhaite savoir si mes calculs ci-dessus sont corrects ?

3)
Pour montrer que K et H sont supplémentaire, faut -il utiliser le déterminant avec K et H ?
4)
Pour montrer que W et H sont supplémentaire, faut -il utiliser le déterminant avec W et H ?

A bientôt

[azf]

Bonjour

Pardon mais tes calculs sont compliqués (j'ai vu tes lignes de mots sans lire tes équations et j'ai cherché la phrase : K est de dimension ... et H est de dimension .... j'ai cherché aussi le mot "rang" de ... car le rang de la matrice constituée des vecteurs des bases de tes deux sous-espaces vectoriels va te permettre de savoir si oui ou non ils sont en somme directe interne ou pas mais certes j'ai vu la phrase famille libre ok c'est un début mais alors tu dois rajouter "qui engendre un sous-espace vectoriel de dimension ... "

J'ai rien vu

Pardon mais est-ce que tu visualise mentalement géométriquement parlant (j'entends) l'objet de ton travail avant d'aligner des équations et des systèmes d'équations ?

Je ne suis pas prof (ni étudiant d'ailleurs) donc je suis très très mal placé pour juger de telle ou telle méthode mais très franchement je ne comprend pas que tu aligne des équations sans presque aucune phrase de français et sans les mots que l'on doit y trouver et le mot magique que je cherche en vain dans ce que tu as écrit c'est le mot "dimension"

[catamat]

Bonjour

En effet mais quand dans ta résolution de système (3,3) une équation est inutile comme c'est le cas ici, cela signifie que le déterminant est nul et donc qu'il n'y a pas une solution unique.

On peut voir aussi que v3=v1-2v2 donc la famille n'est pas libre ce que l'on pouvait d'ailleurs imaginer d'après les questions suivantes.

[novicemaths]

Bonjour

Concernant la question 1). Est ce que j'ai bien répondu à la question ?

Pour la question 2).

Est-ce que j'ai bien mis en place les systèmes d'équations (famille libre, famille génératrice) ?

catamat, la ligne L3 (système d'équation) est inutile ?

Comment déterminer qu'une famille est libre ou pas ?

Je pensais qu'il fallait trouver a=0, b=0, etc.

J'ignore pourquoi il ne donne pas de détails sur les dimensions dans mes livres.

A bientôt

[catamat]

Pour la 1 c'est correct mais incomplet car on demande aussi une base de ce sev

Pour la 2 cela ne va pas du tout on demande une base de K
On a v3=v1-2v2
Donc K est engendré par (v1,v2)
Si vous démontrez que (v1,v2) est libre ce sera une base de K.

[azf]

J'ignore pourquoi il ne donne pas de détails sur les dimensions dans mes livres.

Visualisez mentalement la "chose"

Le mieux même s'il s'agit d'espaces vectoriel pour visualiser pensez à l'espace affine

vous avez dit que vous avez deux sous-espaces vectoriels de R^3

K et K sont des sous-espaces vectoriels

il faut savoir de quelles dimensions ils sont mais cela n'est pas suffisant pour savoir si ils se complètent dans l'espace auxquels ils appartiennent

une droite peut appartenir à un plan mais dans ce cas toute combinaison vectorielle des vecteurs de ces deux sous-espaces ne donneront jamais un vecteur quelconque de l'espace auxquels ils appartiennent

visualisez une droite qui est dans un plan : comment ne pas la confondre avec ce plan ?

C'est impossible

La géométrie ce sont beaucoup de concepts délicats mais on peut visualiser mentalement des espaces de dimensions finis mais là on ne vous demande que de penser à l'espace à trois dimensions donc pensez
vecteur nul, points, droites , plans et espace lui-même
En pensant vous aurez fait la majeure partie du boulot sans même aligner une équation

[novicemaths]

Bonsoir

Pour la question 1)

Je ne vois pas comment déterminer la dimension de (t,2t,-t) par calcul.

Je ne suis pas sur, je suppose dim 1 mais je ne vois pas comment le prouver par le calcul.

Concernant question 2)

Vu que

Dois je poser l'opération comme ci-dessous ?



Après avoir déterminer la famille libre, faudra t-il déterminer la famille génératrice ?

A bientôt

[azf]

Pour la question 1)
Je ne vois pas comment déterminer la dimension de (t,2t,-t) par calcul.
Je ne suis pas sur, je suppose dim 1 mais je ne vois pas comment le prouver par le calcul.

Bonjour

Pardon c'est important : en maths le doute n'est pas permis
votre prof vous dira texto :
"Soit on sait soit on ne sait pas"
donc vous dites je suppose qu'il est de dimension 1
eh bien allez jusqu'au bout du raisonnement
regardez si il est possible qu'il existe un vecteur de ce sous-espace qui ne soit pas colinéaire avec un non nul que vous avez fixé
À votre avis est-ce qu'il existe un vecteur non nul de ce sous-espace qui ne soit pas colinéaire avec (1,2,-1)
?
regardez la définition
regardez la définition d'une famille de vecteurs libres
Ne laissez rien au hasard et à l'approximation

[catamat]

Pour la question 2)

Il y a un 2 en trop (inutile) on cherche a justifier que (v1,v2) est libre donc aucun rapport avec v3...

Quant à savoir si elle est génératrice !!
C'est par définition puisque K est engendré par (v1,v2,v3)
donc tout vecteur v de K s'écrit av1+bv2+cv3 or v3=v1-2v2.....

[azf]

Bonjour

Je suis en train de penser à un truc parce que cela m'intrigue un peu
En regardant vos questions j'ai l'impression que vous prenez des cours par correspondance et que vous travaillez seul (c'est très difficile de travailler seul)
Il y a des questions qui sont souvent d'un niveau différent
C'est très difficile les cours par correspondance . Vous n'avez pas l'occasion de poser des questions à votre prof aussi facilement que les étudiants, de plus eux ils ont un programme qui fait que leurs savoir est "homogène"
Quand ils pose des questions se sont des questions de leurs niveau
Je pense mais je peux me tromper que si vous dites où vous en êtes les gens ici pourront mieux vous aider
En tout cas je trouve que vous êtes très courageux et jamais vous vous plaignez

[mariedlvr]

Bonjour, est ce que quelqu’un pourrait m’aider sur deux questions s’il vous plaît :
1. Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. Soit (un) une suite réelle telle que pour tout n ∈ N on a un ∈]a, b[. On suppose que (un) converge et on note l sa limite. Est-ce qu’on a toujours l ∈]a, b[ ?
2. Si les sous-suites des termes paires et impaires respectivement notées par (u2n) et (u2n+1) ne tendent pas vers la même limite que peut-on dire de (un) ?
Merci d’avance

[novicemaths]

Bonsoir

mariedlvr, je te conseille de réaliser un nouveau post pour ta question.

Concernant mon sujet.

1)


Donc Dim H = 1

2)

Est-ce que les calcul ci-dessous pour démonter que c'est une famille libre sont corrects.






Concernant la dimension de W.



Donc

Soit W est de dim = 0, dim =1 ou dim =2

Avec les calculs de famille libre, famille génératrice. On en déduit que dim W = 2.

Est-ce que mon analyse semble un peut correct ?

A bientôt

[catamat]

Bonjour

Correct oui mais cela manque cruellement de rédaction (du mot base en particulier).
Pour le 1 c'est (t,2t,-t) et non pas (t,2t,-1)
En écrivant ce vecteur sous la forme t(1,2,-1) on démontre que ce vecteur (1,2,-1) engendre H et comme il est non nul c'est une base de H. D'où dim H =1

De même pour K puisque (v1,v2) est à la fois libre et génératrice c'est une base de K donc dim K =2