Exercice sur les séries de Fourier

[romainx3]

Bonsoir,
J'ai un petit problème concernant mon exercice où l'on me demande de déterminer le coefficient Cn(f)
de la fonction f(x) = e^(e^ix) en utilisant son développement en série entière.

J'ai réussi à développer f(x) en série entière mais je sais pas comment déterminer le Cn(f).
Si vous pouvez m'aider.

[Pseuda]

Bonsoir,

Développement en série entière de . En remplaçant, cela donne : .

On obtient donc : .

Cela se simplifie facilement.

[romainx3]

Oui c'est ce que j'ai fait mais mon problème c'est le coefficient de fourier.

[Pseuda]

[romainx3]

du coup Cn(f) = somme de 1/n! ?

[Pseuda]

du coup Cn(f) = somme de 1/n! ?

Hum non, j'ai corrigé dans mon message précédent !

[Pseuda]

Puis, comme la série converge uniformément, on peut intervertir la somme et l'intégrale.

L'intégrale se calcule facilement.

[romainx3]

je trouve donc 1/pi*i (somme(cos(k-n)pi/k-n)) dsl mais je sais pas du tout comment rédiger comme tu le fais

[Pseuda]

? On fait une intégration terme à terme : les fonctions sont continues sur R et la série converge uniformément sur R donc sur . Je n'ai pas vérifié ton résultat.

[romainx3]

dans ta somme, c'est plutot k! non ? et j'ai oublié un k! au dénominateur du coup
je pense pas m'être trompé avec les indications que tu m'as données

[Pseuda]

Oui c'est k! en bas, j'ai oublié de rectifier. Je le fais.

[romainx3]

On me demande ensuite de calculer l'intégrale de 0 à 2pi de la fonction : e^(2*cosx)
Ici j'utiliserais la partie réelle de e^ix =cos x ?

[Pseuda]

je trouve donc 1/pi*i (somme(cos(k-n)pi/k-n)) dsl mais je sais pas du tout comment rédiger comme tu le fais

Je ne trouve pas ça. L'intégrale est nulle pour k<>n, et vaut 2pi/n! pour k=n. Donc cn(f)=1/n! pour n>=0, cn(f)=0 pour n<0.

[romainx3]

je suis un peu perdu là si tu pouvais m'expliquer comment tu calcules cette intégrale en inversant la sommation et l'intégration

[Pseuda]

: pour k=n, cela fait 2pi\k! donc 2pi\n!, et pour k<>n, cela fait 0.

[romainx3]

Ah oui en effet donc on revient à Cn(f) = somme(1/n!)

[Pseuda]

Oui mais c'est là que je ne comprends plus, parce qu'on retombe sur (remarque : à partir de la série de Fourier : n ne peut être égal à k>=0 que pour n>=0). Comme la fonction est de classe C1, la série de Fourier converge uniformément vers la fonction. Tout ça pour ça !

[Pseuda]

On me demande ensuite de calculer l'intégrale de 0 à 2pi de la fonction : e^(2*cosx)
Ici j'utiliserais la partie réelle de e^ix =cos x ?

Bonjour,

Pour cela, je ferais : .

Puis la formule de Parseval.

[romainx3]

oui c'est ça merci bcp pseuda de m'avoir aidé