Exercice sur les matrices

[lilos]

Bonjour j ai un probleme sur les matrices a resoudre et je bloque des la premiere question:

Il y a 4 matrices
a(1 2 3)
O1 2
0 0 1
I matrice identite d ordre 3
J(0 1 0)
0 0 1
0 0 0

K(0 0 1)
0 0 0
0 0 0

Au debut on doit calculer (bJ+cK) a la puissance p pour tout couple (b,c) de RxR et tout entier naturel non nul p

j ai une idee mais ne suis pas sur je trouve cette matrice est-ce cela:
(o b c) a la puissance p
o o o
o o o
merci de votre aide si vous avez une idee

[Taupin sur Lyon]

tu t'es trompé...
bJ + cK donne :
0 b c
0 0 b
0 0 0

Toutefois, tu as du voir plusieurs méthodes pour calculer les puissances de matrices...

Surtout si tu as une somme de 2 matrices nilpotentes...
Dans ce cas même, la matrice à élever puissance p est aussi nilpotente...

Donc ça ne devrait po être trop difficile de calculer les premières puissances, et donc se rendre compte qu'à partir de p=3, on obtient la matrice nulle !

Si je me suis po trompé, ça devrait être ça ;)

[lilos]

ensuite on nous dit M(a,b,c)=aI+bJ+cK calculer M puissance n por tout triplet (a,b,c) de R puissance 3 et tout entier naturel non nul n
je trouve :
= a b c ) le tout puissance n
0 a b
o o a

a la question suivante il faut deduire l expression A puissance n pour tout entier naturel non nul n
comment faire?

(merci pour la premiere reponse je n avais pas pense a la nilpotente)

[Taupin sur Lyon]

c'est bien beau d'écrire

a b c exposant n, mais ça ne nous sert à rien !! :)
0 a b
0 0 a

dans ce cas, tu peux dire que cette matrice M vaut aI + une matrice nilpotente d'ordre 3 ( question précédente... )
Et paf, ces 2 matrices commutent, donc ?? Et oui, binôme de Newton !!!

Donc, ça donne une expression assez simple de la puissance nième, car dès le rang 3 pour la matrice nilpotente, le terme est nul...

Ensuite, si tu remplaces... tu poses : a=1 ; b=2, c=3, tu as facilement ce qu'on veut ;)

[lilos]

j ai compris qu il est necessaire d appliquer le binome de newton mais je n arrive pas a le faire pouvez vous m eclaircir?
merci

[Taupin sur Lyon]

Euh... je vois po ce qui te gène !
tu as (aI + une matrice nilpotente )^p, c'est po compliqué, si ?

[lilos]

pour le resultat du binome je trouve:
b^2+(bJ+cK) est ce cela
merci